Matematyka.pl

Nie lubię pierwiastków.
Połóżmy \(\displaystyle{ x=\sqrt{ab}, \ y=\sqrt{bc}, z=\sqrt{ca}}\), wówczas założenie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\), zaś teza wygląda jakoś tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{xz}{y} + \frac{xy}{z} }{1+x} + \frac{ \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x} }{1+y} + \frac{\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}}{1+z} \le \frac{3-\sqrt{3}}{3xyz}}\)
a po wymnożeniu przez dodatnie \(\displaystyle{ xyz}\):
\(\displaystyle{ \frac{(xz)^2+(xy)^2}{1+x}+ \frac{(xy)^2+(yz)^2}{1+y}+ \frac{(yz)^2+(xz)^2}{1+z} \le 1- \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
czy też (bo \(\displaystyle{ y^2+z^2=1-x^2}\) i tak dalej)
\(\displaystyle{ x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z) \le 1-\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
a to już idzie ultra łatwo:
znowu korzystając z założenia o sumie kwadratów, sprowadzamy ten problem do udowodnienia, że gdy dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\), to zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 \ge \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Wynika to w sposób trywialny z nierówności między średnimi potęgowymi, co kończy dowód.