[Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
maximum2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ola
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 5 razy

[Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

Post autor: maximum2000 » 25 paź 2017, o 18:16

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) oraz \(\displaystyle{ ab+bc+ca=1}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{1+\sqrt{ab}}+\frac{b+c}{1+\sqrt{bc}}+\frac{c+a}{1+\sqrt{ca}} \leqslant \frac{3-\sqrt{3}}{3abc}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: [Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

Post autor: Premislav » 25 paź 2017, o 20:08

Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: [Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

Post autor: arek1357 » 25 paź 2017, o 20:19

\(\displaystyle{ \sqrt{ab}=x , \sqrt{bc}=z , \sqrt{ac}=y}\)

dalej:

\(\displaystyle{ a= \frac{xy}{z}, b= \frac{xz}{y} , c= \frac{yz}{x}}\)

po tych podstawieniach otrzymasz:


\(\displaystyle{ \frac{x}{yz} \frac{y^2+z^2}{1+x}+ \frac{z}{xy} \frac{x^2+y^2}{1+z}+\frac{y}{xz} \frac{x^2+z^2}{1+y} \le \frac{3- \sqrt{3} }{3xyz}/ \cdot xyz}\)

\(\displaystyle{ x^2\frac{y^2+z^2}{1+x}+y^2\frac{x^2+z^2}{1+y}+z^2 \frac{x^2+y^2}{1+z} \le \frac{3- \sqrt{3} }{3}}\)

nasz warunek:

\(\displaystyle{ ab+ac+bc=1}\)

zamienił się na:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\)

podstawiając do ostatniego otrzymasz:

\(\displaystyle{ \frac{ x^2(1-x^2)}{1+x} +\frac{ y^2(1-y^2)}{1+y}+\frac{ z^2(1-z^2)}{1+z}\le \frac{3- \sqrt{3} }{3}}\)

jak poskracasz otrzymasz:

\(\displaystyle{ x^2-x^3+y^2-y^3+z^2-z^3-1-(x^3+y^3+z^3) \le \frac{3- \sqrt{3} }{3}}\)

lub po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 \ge \frac{1}{3} \sqrt{3}}\)

a to ostatnie możesz sobie zrobić nawet z mnożników...



No tak piękny dubelt...

Od Premislava szybszy może być jedynie Chuck Norris ( z półobrotu)...
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 00:25 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: [Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

Post autor: Premislav » 25 paź 2017, o 21:45

Od Premislava szybsza może być dowolna osoba, która skończyła studia w terminie.
Ale się zaorałem :!:
Moją pierwszą myślą po sprowadzeniu do \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3\ge\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
w dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniających \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\) też była metoda mnożników Lagrange'a, ale to chyba trochę przesada, choć wychodzi nawet gładko…

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Re: [Nierówności] nierówność z trzema zmiennymi

Post autor: arek1357 » 26 paź 2017, o 00:23

Od Premislava szybsza może być dowolna osoba, która skończyła studia w terminie.
A szczególnie ta która skończyła europeistykę stosowaną metodą korespondencyjną w trybie zaocznym w Sochaczewie...

ODPOWIEDZ