Strona 1 z 1
[Planimetria] pseudosrodki
: 26 lip 2007, o 23:29
autor: mol_ksiazkowy
Mowimy ze p jest pseudosrodkiem figury A, gdy mozna usunąc pewien punkt z A , tak ze po tym otzymamy zbior , ktorego srodkiem symetrii jest p. Ile co najwyzej pseudosrodkow moze miec zbior skonczony...?uzasadnic i Podac stosowny pzryklad.
[Planimetria] pseudosrodki
: 25 sie 2008, o 01:39
autor: Sylwek
Było ciężko
1) Gdy figura jest punktem, wówczas A ma nieskończenie wiele pseudo-środków.
2) Gdy figura jest dwoma punktami - mamy 2 pseudo-środki
3) Gdy figura jest trzema punktami - mamy 3 pseudo-środki
4) Pokażę, że gdy figura ma więcej punktów, to ma najwyżej 3 pseudo-środki. Niech K będzie pseudo-środkiem A (przy usunięciu punktu D). Wówczas istnieje punkt najbardziej oddalony od K (oraz jego symetria względem K) - niech będą to punkty B,C. Poprowadźmy odcinek BC - poprowadźmy jego symetralną (przechodzi przez K). Przypuśćmy, że znajduje się tam inny pseudo-środek L, wówczas \(\displaystyle{ B_1}\) będzie obrazem B w tej symetrii, \(\displaystyle{ B_2}\) obrazem \(\displaystyle{ B_1}\) w symetrii względem K, \(\displaystyle{ B_3}\) obrazem \(\displaystyle{ B_2}\) w symetrii względem L i tak w nieskończoność - sprzeczność z warunkiem, że zbiór jest skończony (gdyby usunięty punkt D był jednym z \(\displaystyle{ B_i}\), to operację odbijania wykonujemy dla C). Zatem inny pseudo-środek L znajduje się bliżej jednego z punktów B,C niż drugiego - dla ustalenia uwagi L znajduje się bliżej C.
Drugi pseudo-środek może powstać gdy usuniemy B. Gdy usuniemy inny punkt różny od B,D widać, że ponieważ B jest najbardziej odległym punktem od nowego pseudo-środka (tak sobie założyliśmy na początku), to punkt D musi być obrazem B w symetrii względem trzeciego z pseudo-środków. Teraz już prosto pokazać, że żaden inny pseudo-środek nie istnieje pokazując, że jeśli by istniał, to musi leżeć na prostej równoległej do symetralnej BC przechodzącej przez trzeci pseudo-środek, a następnie pokazując, że gdyby istniał, mielibyśmy zbiór nieskończony.
Warto dodać, że istnieje zbiór n-elementowy z 3 pseudo-środkami: na prostej obierzmy kolejno nieparzystą ilość punktów, gdzie odległość pomiędzy dwoma kolejnymi punktami jest stała - wówczas prosto wskazać trzy pseudo-środki (przy usunięciu skrajnych lub środkowego punktu).