[Planimetria] pseudosrodki

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6470
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2586 razy
Pomógł: 683 razy

[Planimetria] pseudosrodki

Post autor: mol_ksiazkowy » 26 lip 2007, o 23:29

Mowimy ze p jest pseudosrodkiem figury A, gdy mozna usunąc pewien punkt z A , tak ze po tym otzymamy zbior , ktorego srodkiem symetrii jest p. Ile co najwyzej pseudosrodkow moze miec zbior skonczony...?uzasadnic i Podac stosowny pzryklad.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Planimetria] pseudosrodki

Post autor: Sylwek » 25 sie 2008, o 01:39

Było ciężko


1) Gdy figura jest punktem, wówczas A ma nieskończenie wiele pseudo-środków.

2) Gdy figura jest dwoma punktami - mamy 2 pseudo-środki

3) Gdy figura jest trzema punktami - mamy 3 pseudo-środki

4) Pokażę, że gdy figura ma więcej punktów, to ma najwyżej 3 pseudo-środki. Niech K będzie pseudo-środkiem A (przy usunięciu punktu D). Wówczas istnieje punkt najbardziej oddalony od K (oraz jego symetria względem K) - niech będą to punkty B,C. Poprowadźmy odcinek BC - poprowadźmy jego symetralną (przechodzi przez K). Przypuśćmy, że znajduje się tam inny pseudo-środek L, wówczas \(\displaystyle{ B_1}\) będzie obrazem B w tej symetrii, \(\displaystyle{ B_2}\) obrazem \(\displaystyle{ B_1}\) w symetrii względem K, \(\displaystyle{ B_3}\) obrazem \(\displaystyle{ B_2}\) w symetrii względem L i tak w nieskończoność - sprzeczność z warunkiem, że zbiór jest skończony (gdyby usunięty punkt D był jednym z \(\displaystyle{ B_i}\), to operację odbijania wykonujemy dla C). Zatem inny pseudo-środek L znajduje się bliżej jednego z punktów B,C niż drugiego - dla ustalenia uwagi L znajduje się bliżej C.

Drugi pseudo-środek może powstać gdy usuniemy B. Gdy usuniemy inny punkt różny od B,D widać, że ponieważ B jest najbardziej odległym punktem od nowego pseudo-środka (tak sobie założyliśmy na początku), to punkt D musi być obrazem B w symetrii względem trzeciego z pseudo-środków. Teraz już prosto pokazać, że żaden inny pseudo-środek nie istnieje pokazując, że jeśli by istniał, to musi leżeć na prostej równoległej do symetralnej BC przechodzącej przez trzeci pseudo-środek, a następnie pokazując, że gdyby istniał, mielibyśmy zbiór nieskończony.

Warto dodać, że istnieje zbiór n-elementowy z 3 pseudo-środkami: na prostej obierzmy kolejno nieparzystą ilość punktów, gdzie odległość pomiędzy dwoma kolejnymi punktami jest stała - wówczas prosto wskazać trzy pseudo-środki (przy usunięciu skrajnych lub środkowego punktu).

ODPOWIEDZ