Matematyka.pl

Zadanko pochodzi z delty:
Boki trójkąta dzielimy na trzy równe części, a następnie łączymy odcinkami każdy z wierzchołków z pierwszym punktem podziału na przeciwległym boku. W rezultacie odcinki utworzą trójkąt, którego pole jest równe 1/7 pola wyjściowego trójkąta.

Jest to szczególny przypadek wzoru Routha, który mówi jaką część pola stanowi trójkąt powstały w sposób analogiczny, jednak przy dowolnym stosunku podzielonych części boków, wzór ten jest dość skomplikowany i brzydki, ale jakże ciekawy.

Pisałem to już tutaj: ... 6&t=398237 , co by się miało zmarnować ; p.

Skoro Świstak podbił temat, a nie widzę w internecie tego wzoru, o którym pisałem, to przepiszę, może ktoś nie zna.

Niech dane będą trzy czewiany \(\displaystyle{ l_{AK}}\), \(\displaystyle{ l_{BL}}\) i \(\displaystyle{ l_{CM}}\) pewnego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Ponadto niech \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) , \(\displaystyle{ \beta = \left[ CLA \right]}\) i \(\displaystyle{ \gamma = \left[ AMB \right]}\). Pole trójkąta wyznaczonego przez te czewiany określony jest wtedy wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{(\alpha \beta \gamma - 1)^{2}}{(1 + \alpha + \alpha \beta)(1 + \beta + \beta \gamma)(1 + \gamma + \gamma \alpha)} \cdot S_{ABC}}\)
Jest to wspomniany wzór Routha, po napisaniu zmieniam zdanie, jest on śliczny.

EDIT:
Zapis \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) oznacza oczywiście \(\displaystyle{ \alpha = \frac{BK}{KC}}\)

Jest tutaj