[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
justynian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 705
Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 58 razy

[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

Post autor: justynian » 3 lip 2011, o 16:20

Zadanko pochodzi z delty:
Boki trójkąta dzielimy na trzy równe części, a następnie łączymy odcinkami każdy z wierzchołków z pierwszym punktem podziału na przeciwległym boku. W rezultacie odcinki utworzą trójkąt, którego pole jest równe 1/7 pola wyjściowego trójkąta.

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

Post autor: tometomek91 » 3 lip 2011, o 17:01

Ukryta treść:    

MateuszL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 1 lis 2009, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice
Pomógł: 3 razy

[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

Post autor: MateuszL » 3 lip 2011, o 17:57

Jest to szczególny przypadek wzoru Routha, który mówi jaką część pola stanowi trójkąt powstały w sposób analogiczny, jednak przy dowolnym stosunku podzielonych części boków, wzór ten jest dość skomplikowany i brzydki, ale jakże ciekawy.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

Post autor: Swistak » 7 lip 2011, o 10:19

Pisałem to już tutaj: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=398237 , co by się miało zmarnować ; p.

MateuszL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 1 lis 2009, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice
Pomógł: 3 razy

[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

Post autor: MateuszL » 8 lip 2011, o 00:19

Skoro Świstak podbił temat, a nie widzę w internecie tego wzoru, o którym pisałem, to przepiszę, może ktoś nie zna.

Niech dane będą trzy czewiany \(\displaystyle{ l_{AK}}\), \(\displaystyle{ l_{BL}}\) i \(\displaystyle{ l_{CM}}\) pewnego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Ponadto niech \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) , \(\displaystyle{ \beta = \left[ CLA \right]}\) i \(\displaystyle{ \gamma = \left[ AMB \right]}\). Pole trójkąta wyznaczonego przez te czewiany określony jest wtedy wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{(\alpha \beta \gamma - 1)^{2}}{(1 + \alpha + \alpha \beta)(1 + \beta + \beta \gamma)(1 + \gamma + \gamma \alpha)} \cdot S_{ABC}}\)
Jest to wspomniany wzór Routha, po napisaniu zmieniam zdanie, jest on śliczny.

EDIT:
Zapis \(\displaystyle{ \alpha = \left[ BKC \right]}\) oznacza oczywiście \(\displaystyle{ \alpha = \frac{BK}{KC}}\)

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

[Planimetria] Stosunek pól trójkatów

Post autor: tometomek91 » 8 lip 2011, o 17:06


ODPOWIEDZ