[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 1 seria.
: 3 gru 2009, o 00:32
Znalazłem w starych papierach kartkę z kółka matematycznego H. Pawłowskiego, z zadaniami które przygotował nam w ramach treningu przed drugim etapem L Olimpiady Matematycznej. Ponieważ nie sądzę, by pan Pawłowski miał coś przeciwko, pozwolę sobie zamieścić je na forum, bo trening na pewno się wielu osobom przyda (mi się wtedy przydał ).
Link do drugiej serii
Link do trzeciej serii
[url=http://www.matematyka.pl/258971.htm]Link do serii przedfinałowej[/url]
(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)
Zadanie 1 - rozwiązane przez jerzozwierza
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=1, a_{n+1}=a_n^3+1}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\)
Rozstrzygnij które wyrazy tego ciągu są podzielne przez \(\displaystyle{ 1998}\).
Zadanie 2 - rozwiązane przez binaja
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) mamy dane: \(\displaystyle{ |AB|=|CD|=p, |AC|=|BD|=q, |AD|=|BC|=r}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są środkami odpowiednio krawędzi \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Na odcinku \(\displaystyle{ KL}\) znajdź takie punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\), dla których suma \(\displaystyle{ |AE|^2+|EF|^2+|FC|^2}\) osiąga wartość najmniejszą.
Zadanie 3 - rozwiązane przez Świstaka
Wewnątrz równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sphericalangle APB + \sphericalangle CPD = 180^o}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sphericalangle PDC = \sphericalangle PBC}\).
Zadanie 4 - rozwiązane przez klaustrofoba
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 1999^{2^n}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{n+2}}\).
Uwaga: zachodzi mocniejsza teza: \(\displaystyle{ 2^{n+4}| \left( 1999^{2^n}-1\right)}\), na co zwrócił uwagę Kimon.
Zadanie 5 - rozwiązane przez SchmudeJanusza, mzs i Qnia
Wykaż, że z odcinków długości \(\displaystyle{ a,b,c}\) można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ p+q=1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ pa^2+qb^2> pqc^2}\).
Zadanie 6 - rozwiązane przez Dumla i Ponewora
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c+d=2}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a+1}{a^2+1}+ \frac{b+1}{b^2+1}+\frac{c+1}{c^2+1}+\frac{d+1}{d^2+1}\leq \frac{24}{5}}\).
Zadanie 7
W międzynarodowej konferencji naukowej wzięło udział \(\displaystyle{ 1998}\) uczonych. Wśród każdych trzech naukowców co najmniej dwóch włada tym samym językiem, a każdy z uczestników konferencji zna co najwyżej pięć języków. Udowodnij, że co najmniej \(\displaystyle{ 200}\) uczonych zna ten sam język.
Zadanie 8 - rozwiązanie przez mola książkowego
Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) oraz liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p| 5a-1}\) i \(\displaystyle{ p|a-10}\), to \(\displaystyle{ p|a-3}\).
Zadanie 9 - rozwiązanie przez Sienka
Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\); \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), zaś \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ S}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |PQ|=|QR|}\).
Zadanie 10 - rozwiązane przez binaja, Vaxa i Ponewora
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{a}{b} \right) \left( 1+\frac{b}{c} \right) \left( 1+\frac{c}{a} \right) \ge 2 \left( 1 +\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right)}\).
Zadanie 11 - rozwiązane przez Ponewora
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ (1998n)! \le \left( \frac{3995n+1}{2} \cdot \frac{3993n+1}{2} \cdot \frac{3991n+1}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n+1}{2} \right)^n}\).
Zadanie 12 - rozwiązane przez pawelsuza
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie:
\(\displaystyle{ (x+1998)(x+1999)(x+2000)(x+2001)+1=0}\).
Zadanie 13 - rozwiązane przez timona92
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\);
(ii)\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{x+y} \right) = f \left( \frac{1}{x}\right) +f \left(\frac{1}{y} \right) +2(xy-1000)}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0, y\neq 0}\), takich, że \(\displaystyle{ x+y \neq 0}\).
Zadanie 14
Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których prawdziwe jest twierdzenie:
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) liczba
\(\displaystyle{ (1+n)^{n^{m-1}}-n^m -1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^{m+1}}\).
Zadanie 15 - rozwiązane przez limesa123 i Dumla
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ n}\)-elementowy \(\displaystyle{ A}\) oraz jego podzbiory \(\displaystyle{ A_1,A_2, \dots , A_m}\), z których żaden nie zawiera się w drugim. Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 1^o}\) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{{n \choose |A_i|}} \leq 1}\);
\(\displaystyle{ 2^o}\) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} {n \choose |A_i|} \geq m^2}\).
Zadanie 16 - rozwiązane przez mola książkowego
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), dla których układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2=p+1 \\ 2y^2 = p^2+1 \end{cases}}\)
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\).
Zadanie 17 - rozwiązane przez mola książkowego
Dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ abc=1}\). Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ca}{1+c} \geq 3}\) .
Zadanie 18 - rozwiązane przez timona92
Styczna do okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), równoległa doboku \(\displaystyle{ BC}\), przecina boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CA}\) tego trójkąta odpowiednio w punktach\(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 8|DE| \leq |AB|+|BC|+|CA|}\) .
Zadanie 19
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ x_1=1}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{n^2}{x_n}+\frac{x_n}{n^2} +2}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\) .
Wykaż, że \(\displaystyle{ \lfloor x_n \rfloor =n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \geq 4}\).
Zadanie 20 - rozwiązane przez WC Pikera
Rozwiąż w liczbach nieujemnych \(\displaystyle{ x,y}\) układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2^{x^4+y^2} +2^{x^2+y^4}=8 \\
x+y=2
\end{cases}}\) .
Zadanie 21 - rozwiązanie podane przez JanuszaSchmude
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1,a_2, \dots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1,b_2, \dots ,b_n}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ n \left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i + \sqrt{ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) } \right) \geq 2 \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n}b_i \right)}\) .
Zadanie 22 - rozwiązane przez Dumla i timona92
Wykaż, że dla dowolnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ p,q,r}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{p+q}{r} \right)^r \left(1 + \frac{q+r}{p} \right)^p\left(1 + \frac{r+p}{q} \right)^q \leq 3^{p+q+r}}\) .
Zadanie 23 - rozwiązane przez mola książkowego i timona92
Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta, to:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a-b}{c}\right)^c \left( 1+ \frac{b-c}{a}\right)^a \left( 1+ \frac{c-a}{b}\right)^b \leq 1}\) .
Zadanie 24 - rozwiązane przez timona92
Na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano odpowiednio takie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), że prosta \(\displaystyle{ PQ}\) jest styczna do okręgu o środku \(\displaystyle{ A}\) i promieniu \(\displaystyle{ AB}\). Odcinki \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ AQ}\) przecinają przekątną \(\displaystyle{ BD}\) w punktach \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\). Wykaż, że punkty \(\displaystyle{ C,P,Q,R,S}\) leżą na jednym okręgu.
Zadanie 25 - rozwiązane przez WC Pikera
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x_1, x_2 \dots , x_9 \in <0;2>}\), zaś \(\displaystyle{ y_1,y_2, \dots , y_9 \in <0;4>}\), to dla pewnych \(\displaystyle{ 1 \leq i \neq j \leq 9}\)
\(\displaystyle{ (x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2 \leq 2}\) .
Zadanie 26 - rozwiązane przez pawelsuza
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=19, a_2 =98}\), \(\displaystyle{ a_{n+2}}\) jest resztą z dzielenia przez \(\displaystyle{ 100}\) liczby \(\displaystyle{ a_n+a_{n+1}}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\).
Udowodnij, że suma:
\(\displaystyle{ a_1^2+a_2^2+\dots + a_{1998}^2}\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).
Powodzenia!
Q.
Link do drugiej serii
Link do trzeciej serii
[url=http://www.matematyka.pl/258971.htm]Link do serii przedfinałowej[/url]
(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)
Zadanie 1 - rozwiązane przez jerzozwierza
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=1, a_{n+1}=a_n^3+1}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\)
Rozstrzygnij które wyrazy tego ciągu są podzielne przez \(\displaystyle{ 1998}\).
Zadanie 2 - rozwiązane przez binaja
W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) mamy dane: \(\displaystyle{ |AB|=|CD|=p, |AC|=|BD|=q, |AD|=|BC|=r}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są środkami odpowiednio krawędzi \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Na odcinku \(\displaystyle{ KL}\) znajdź takie punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\), dla których suma \(\displaystyle{ |AE|^2+|EF|^2+|FC|^2}\) osiąga wartość najmniejszą.
Zadanie 3 - rozwiązane przez Świstaka
Wewnątrz równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano punkt \(\displaystyle{ P}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sphericalangle APB + \sphericalangle CPD = 180^o}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sphericalangle PDC = \sphericalangle PBC}\).
Zadanie 4 - rozwiązane przez klaustrofoba
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ 1999^{2^n}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{n+2}}\).
Uwaga: zachodzi mocniejsza teza: \(\displaystyle{ 2^{n+4}| \left( 1999^{2^n}-1\right)}\), na co zwrócił uwagę Kimon.
Zadanie 5 - rozwiązane przez SchmudeJanusza, mzs i Qnia
Wykaż, że z odcinków długości \(\displaystyle{ a,b,c}\) można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ p+q=1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ pa^2+qb^2> pqc^2}\).
Zadanie 6 - rozwiązane przez Dumla i Ponewora
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c+d=2}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{a+1}{a^2+1}+ \frac{b+1}{b^2+1}+\frac{c+1}{c^2+1}+\frac{d+1}{d^2+1}\leq \frac{24}{5}}\).
Zadanie 7
W międzynarodowej konferencji naukowej wzięło udział \(\displaystyle{ 1998}\) uczonych. Wśród każdych trzech naukowców co najmniej dwóch włada tym samym językiem, a każdy z uczestników konferencji zna co najwyżej pięć języków. Udowodnij, że co najmniej \(\displaystyle{ 200}\) uczonych zna ten sam język.
Zadanie 8 - rozwiązanie przez mola książkowego
Dana jest liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) oraz liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p| 5a-1}\) i \(\displaystyle{ p|a-10}\), to \(\displaystyle{ p|a-3}\).
Zadanie 9 - rozwiązanie przez Sienka
Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\); \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), zaś \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ S}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |PQ|=|QR|}\).
Zadanie 10 - rozwiązane przez binaja, Vaxa i Ponewora
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{a}{b} \right) \left( 1+\frac{b}{c} \right) \left( 1+\frac{c}{a} \right) \ge 2 \left( 1 +\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right)}\).
Zadanie 11 - rozwiązane przez Ponewora
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ (1998n)! \le \left( \frac{3995n+1}{2} \cdot \frac{3993n+1}{2} \cdot \frac{3991n+1}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n+1}{2} \right)^n}\).
Zadanie 12 - rozwiązane przez pawelsuza
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie:
\(\displaystyle{ (x+1998)(x+1999)(x+2000)(x+2001)+1=0}\).
Zadanie 13 - rozwiązane przez timona92
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\);
(ii)\(\displaystyle{ f \left( \frac{1}{x+y} \right) = f \left( \frac{1}{x}\right) +f \left(\frac{1}{y} \right) +2(xy-1000)}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0, y\neq 0}\), takich, że \(\displaystyle{ x+y \neq 0}\).
Zadanie 14
Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których prawdziwe jest twierdzenie:
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) liczba
\(\displaystyle{ (1+n)^{n^{m-1}}-n^m -1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^{m+1}}\).
Zadanie 15 - rozwiązane przez limesa123 i Dumla
Dany jest zbiór \(\displaystyle{ n}\)-elementowy \(\displaystyle{ A}\) oraz jego podzbiory \(\displaystyle{ A_1,A_2, \dots , A_m}\), z których żaden nie zawiera się w drugim. Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 1^o}\) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{{n \choose |A_i|}} \leq 1}\);
\(\displaystyle{ 2^o}\) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} {n \choose |A_i|} \geq m^2}\).
Zadanie 16 - rozwiązane przez mola książkowego
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), dla których układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2=p+1 \\ 2y^2 = p^2+1 \end{cases}}\)
ma rozwiązanie w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x,y}\).
Zadanie 17 - rozwiązane przez mola książkowego
Dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ abc=1}\). Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ca}{1+c} \geq 3}\) .
Zadanie 18 - rozwiązane przez timona92
Styczna do okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), równoległa doboku \(\displaystyle{ BC}\), przecina boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CA}\) tego trójkąta odpowiednio w punktach\(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ 8|DE| \leq |AB|+|BC|+|CA|}\) .
Zadanie 19
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ x_1=1}\)
\(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{n^2}{x_n}+\frac{x_n}{n^2} +2}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\) .
Wykaż, że \(\displaystyle{ \lfloor x_n \rfloor =n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \geq 4}\).
Zadanie 20 - rozwiązane przez WC Pikera
Rozwiąż w liczbach nieujemnych \(\displaystyle{ x,y}\) układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2^{x^4+y^2} +2^{x^2+y^4}=8 \\
x+y=2
\end{cases}}\) .
Zadanie 21 - rozwiązanie podane przez JanuszaSchmude
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1,a_2, \dots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1,b_2, \dots ,b_n}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ n \left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i + \sqrt{ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) } \right) \geq 2 \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n}b_i \right)}\) .
Zadanie 22 - rozwiązane przez Dumla i timona92
Wykaż, że dla dowolnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ p,q,r}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{p+q}{r} \right)^r \left(1 + \frac{q+r}{p} \right)^p\left(1 + \frac{r+p}{q} \right)^q \leq 3^{p+q+r}}\) .
Zadanie 23 - rozwiązane przez mola książkowego i timona92
Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta, to:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a-b}{c}\right)^c \left( 1+ \frac{b-c}{a}\right)^a \left( 1+ \frac{c-a}{b}\right)^b \leq 1}\) .
Zadanie 24 - rozwiązane przez timona92
Na bokach \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CD}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano odpowiednio takie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), że prosta \(\displaystyle{ PQ}\) jest styczna do okręgu o środku \(\displaystyle{ A}\) i promieniu \(\displaystyle{ AB}\). Odcinki \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ AQ}\) przecinają przekątną \(\displaystyle{ BD}\) w punktach \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\). Wykaż, że punkty \(\displaystyle{ C,P,Q,R,S}\) leżą na jednym okręgu.
Zadanie 25 - rozwiązane przez WC Pikera
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x_1, x_2 \dots , x_9 \in <0;2>}\), zaś \(\displaystyle{ y_1,y_2, \dots , y_9 \in <0;4>}\), to dla pewnych \(\displaystyle{ 1 \leq i \neq j \leq 9}\)
\(\displaystyle{ (x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2 \leq 2}\) .
Zadanie 26 - rozwiązane przez pawelsuza
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=19, a_2 =98}\), \(\displaystyle{ a_{n+2}}\) jest resztą z dzielenia przez \(\displaystyle{ 100}\) liczby \(\displaystyle{ a_n+a_{n+1}}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \dots}\).
Udowodnij, że suma:
\(\displaystyle{ a_1^2+a_2^2+\dots + a_{1998}^2}\)
jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\).
Powodzenia!
Q.