Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem niepustym. Udowodnij, że \(\displaystyle{ X}\) z topologią dyskretną jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym.

Gdy \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony to rodzina \(\displaystyle{ \{\{x\}: x\in X\}}\) jest pokryciem otwartym z którego nie da się wybrać podpokrycia skończonego.

Dowód alternatywny:
Topologia dyskretna jest metryzowalna przez metrykę zero-jedynkową. Z twierdzenia Borela-Lebesgue'a zwartość jest równoważna ciągowej zwartości. Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony istnieje różnowartościowy ciąg elementów zbioru\(\displaystyle{ X}\). Z tego ciągu nie można wybrać podciągu zbieżnego.