przestrzeń dyskretna i zwarta

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
annkam87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 12 lis 2008, o 14:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Katowice

przestrzeń dyskretna i zwarta

Post autor: annkam87 » 1 gru 2008, o 11:41

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem niepustym. Udowodnij, że \(\displaystyle{ X}\) z topologią dyskretną jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym.
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2013, o 15:19 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

przestrzeń dyskretna i zwarta

Post autor: Spektralny » 19 wrz 2013, o 14:33

Gdy \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony to rodzina \(\displaystyle{ \{\{x\}: x\in X\}}\) jest pokryciem otwartym z którego nie da się wybrać podpokrycia skończonego.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

przestrzeń dyskretna i zwarta

Post autor: matmatmm » 19 wrz 2013, o 21:00

Dowód alternatywny:
Topologia dyskretna jest metryzowalna przez metrykę zero-jedynkową. Z twierdzenia Borela-Lebesgue'a zwartość jest równoważna ciągowej zwartości. Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony istnieje różnowartościowy ciąg elementów zbioru\(\displaystyle{ X}\). Z tego ciągu nie można wybrać podciągu zbieżnego.

ODPOWIEDZ