Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \sim}\) będzie relacją równoważności na przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ (X,\tau)}\), a \(\displaystyle{ e:X\rightarrow X/_{\sim}}\) naturalnym przekształceniem ilorazowym. Jak wiadomo topologia ilorazowa określona jest wzorem

\(\displaystyle{ \tau/_{\sim}=\{U\subseteq X/_{\sim}: e^{-1}(U)\in\tau\}}\)

Niech dalej \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) będzie pewną bazą przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) i rozważmy rodzinę

\(\displaystyle{ \mathcal{R}:=\{e(B):B\in\mathcal{B}\}}\)

Czy \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) jest bazą pewnej topologii na \(\displaystyle{ X/_{\sim}}\)? Jeśli tak, to czy ta topologia jest bogatsza lub uboższa od \(\displaystyle{ \tau/_{\sim}}\) ?

\(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) nie musi być bazą topologii. Na przykład niech \(\displaystyle{ X = [0, 1]}\) z naturalną topologią i niech \(\displaystyle{ \sim}\) będzie najmniejszą relacją równoważności, taką że \(\displaystyle{ 0 \sim 1}\). Jako bazę \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) weźmy rodzinę przedziałów relatywnie otwartych w \(\displaystyle{ [0, 1]}\). Wtedy \(\displaystyle{ R_1 = e \left[ \Big[ 0, \frac{1}{2} \Big) \right] \in \mathcal{R}}\) i \(\displaystyle{ R_2 = e \left[ \Big( \frac{1}{2}, 1 \Big] \right] \in \mathcal{R}}\), ale przekroju \(\displaystyle{ R_1 \cap R_2 = \{ [0]_{\sim} \}}\) nie można przedstawić w postaci sumy zbiorów z \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\).

Z drugiej strony łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ \tau / {\sim} \subseteq \left\{ \bigcup \mathcal{R}_0 : \mathcal{R}_0 \subseteq \mathcal{R} \right\}}\), tj. gdyby rozważyć rodzinę złożoną z sum elementów \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) (pomimo że ta rodzina może nie być topologią), to jest ona mocniejsza niż \(\displaystyle{ \tau / {\sim}}\).