Topologia ilorazowa

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Topologia ilorazowa

Post autor: matmatmm » 13 lut 2019, o 20:31

Niech \(\sim\) będzie relacją równoważności na przestrzeni topologicznej \((X,\tau)\), a \(e:X\rightarrow X/_{\sim}\) naturalnym przekształceniem ilorazowym. Jak wiadomo topologia ilorazowa określona jest wzorem

\(\tau/_{\sim}=\{U\subseteq X/_{\sim}: e^{-1}(U)\in\tau\}\)

Niech dalej \(\mathcal{B}\) będzie pewną bazą przestrzeni \(X\) i rozważmy rodzinę

\(\mathcal{R}:=\{e(B):B\in\mathcal{B}\}\)

Czy \(\mathcal{R}\) jest bazą pewnej topologii na \(X/_{\sim}\)? Jeśli tak, to czy ta topologia jest bogatsza lub uboższa od \(\tau/_{\sim}\) ?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Topologia ilorazowa

Post autor: Dasio11 » 13 lut 2019, o 23:22

\(\mathcal{R}\) nie musi być bazą topologii. Na przykład niech \(X = [0, 1]\) z naturalną topologią i niech \(\sim\) będzie najmniejszą relacją równoważności, taką że \(0 \sim 1\). Jako bazę \(\mathcal{B}\) weźmy rodzinę przedziałów relatywnie otwartych w \([0, 1]\). Wtedy \(R_1 = e \left[ \Big[ 0, \frac{1}{2} \Big) \right] \in \mathcal{R}\) i \(R_2 = e \left[ \Big( \frac{1}{2}, 1 \Big] \right] \in \mathcal{R}\), ale przekroju \(R_1 \cap R_2 = \{ [0]_{\sim} \}\) nie można przedstawić w postaci sumy zbiorów z \(\mathcal{R}\).

Z drugiej strony łatwo pokazać, że \(\tau / {\sim} \subseteq \left\{ \bigcup \mathcal{R}_0 : \mathcal{R}_0 \subseteq \mathcal{R} \right\}\), tj. gdyby rozważyć rodzinę złożoną z sum elementów \(\mathcal{R}\) (pomimo że ta rodzina może nie być topologią), to jest ona mocniejsza niż \(\tau / {\sim}\).

ODPOWIEDZ