Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (C[0,1],d_{\sup })}\) będzie przestrzenią funkcji ciągłych z \(\displaystyle{ [0,1]}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) w metryką supremum
\(\displaystyle{ d_{\sup }(f,g)=\sup \left\{ \left| f(t)-g(t)\right|:t \in [0,1] \right\}}\)

Które z następujących zbiorów są otwarte w tej przestrzeni?

\(\displaystyle{ A=\left\{ f \in C[0,1]: f(t)>0 &\text{ dla }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\
B=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\
C=\left\{ f \in C[0,1]: \int_{0}^{1}\left| f(t)\right| \mbox{d}t<1 \right\} \\
D=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ jest ściśle rosnąca}\right\}}\)

No dobra to weźmy na razie A. Jak rozumiem, żeby te zbiory były otwarte to dla pewnego małego \(\displaystyle{ r}\), wszystkie funkcje leżące nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) od danej funkcji muszą zachowywać dalej te własności ta?

No to w A jeśli ustalimy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) to możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}\min f(t)}\) i wtedy wszystkie funkcje oddalone w sensie metryki nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) będą siedzieć w tej kuli wyznaczonej przez to \(\displaystyle{ r}\). Zgadza się?

Zauważ, że norma dana jest wzorem \(\displaystyle{ ||f|| = \sup_{t\in [0,1]} |f(t)|}\). Łatwo da się wykombinować te powody, norma działa tak, jak w każdej innej przestrzeni topologicznej. Myśl kulkami

Ale nie wiem po co nam tu norma. Może ktoś stwierdzić czy to:

No to w A jeśli ustalimy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) to możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}\min f(t)}\) i wtedy wszystkie funkcje oddalone w sensie metryki nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) będą siedzieć w tej kuli wyznaczonej przez to \(\displaystyle{ r}\).

Jest dobrze?

tak

No dobra to idziemy dalej.
W B to możemy wziąć funkcję stałą i okaże się, że blisko niej znajdzie się zawsze inna funkcja, stała ,która nie posiada miejsc zerowych. Albo można wziąć funkcję, która ma jedno minimum lub maksimum w zerze i wtedy też znajdzie się w jej otoczeniu funkcja, która nie przyjmuje miejsc zerowych. A zatem w B jest na nie. Zgadza się?

Jak dla mnie powinieneś najpierw poprawić warunek, bo

\(\displaystyle{ f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]}\)

nie bardzo wiadomo, co znaczy.

JK

No to oznacza tyle, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma miejsce zerowe na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Tak jak napisałeś, to może oznaczać różne rzeczy. A wystarczyło napisać

\(\displaystyle{ (\exists t\in[0,1])\,f(t)=0.}\)

JK

Tak miałem w książce napisane.

No dobra to czy tak jak napisałem powyżej jest dobrze czy nie?

Dobrze.

JK

No dobra to C. To weźmy dowolną funkcję f. Wtedy jeśli \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2 }\left( 1-\left| f(t)\right| \right)}\) to wszystkie kule będą chyba siedzieć tam gdzie trzeba. Czyli otwarty ta? Dobrze?