Przestrzeń funkcji ciągłych

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: max123321 » 12 lis 2017, o 14:35

Niech \(\displaystyle{ (C[0,1],d_{\sup })}\) będzie przestrzenią funkcji ciągłych z \(\displaystyle{ [0,1]}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) w metryką supremum
\(\displaystyle{ d_{\sup }(f,g)=\sup \left\{ \left| f(t)-g(t)\right|:t \in [0,1] \right\}}\)

Które z następujących zbiorów są otwarte w tej przestrzeni?

\(\displaystyle{ A=\left\{ f \in C[0,1]: f(t)>0 &\text{ dla }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\ B=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]\right\} \\ C=\left\{ f \in C[0,1]: \int_{0}^{1}\left| f(t)\right| \mbox{d}t<1 \right\} \\ D=\left\{ f \in C[0,1]: &f\text{ jest ściśle rosnąca}\right\}}\)

No dobra to weźmy na razie A. Jak rozumiem, żeby te zbiory były otwarte to dla pewnego małego \(\displaystyle{ r}\), wszystkie funkcje leżące nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) od danej funkcji muszą zachowywać dalej te własności ta?

No to w A jeśli ustalimy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) to możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}\min f(t)}\) i wtedy wszystkie funkcje oddalone w sensie metryki nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) będą siedzieć w tej kuli wyznaczonej przez to \(\displaystyle{ r}\). Zgadza się?
Ostatnio zmieniony 12 lis 2017, o 22:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
jutrvy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1202
Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: jutrvy » 14 lis 2017, o 22:23

Zauważ, że norma dana jest wzorem \(\displaystyle{ ||f|| = \sup_{t\in [0,1]} |f(t)|}\). Łatwo da się wykombinować te powody, norma działa tak, jak w każdej innej przestrzeni topologicznej. Myśl kulkami

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: max123321 » 18 lis 2017, o 15:46

Ale nie wiem po co nam tu norma. Może ktoś stwierdzić czy to:
No to w A jeśli ustalimy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f}\) to możemy wziąć \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}\min f(t)}\) i wtedy wszystkie funkcje oddalone w sensie metryki nie dalej jak o \(\displaystyle{ r}\) będą siedzieć w tej kuli wyznaczonej przez to \(\displaystyle{ r}\).
Jest dobrze?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: leg14 » 18 lis 2017, o 16:29

tak

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: max123321 » 19 lis 2017, o 16:49

No dobra to idziemy dalej.
W B to możemy wziąć funkcję stałą i okaże się, że blisko niej znajdzie się zawsze inna funkcja, stała ,która nie posiada miejsc zerowych. Albo można wziąć funkcję, która ma jedno minimum lub maksimum w zerze i wtedy też znajdzie się w jej otoczeniu funkcja, która nie przyjmuje miejsc zerowych. A zatem w B jest na nie. Zgadza się?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27297
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: Jan Kraszewski » 19 lis 2017, o 16:59

Jak dla mnie powinieneś najpierw poprawić warunek, bo

\(\displaystyle{ f\text{ przyjmuje wartość zero }t \in \left[ 0,1\right]}\)

nie bardzo wiadomo, co znaczy.

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: max123321 » 19 lis 2017, o 17:08

No to oznacza tyle, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma miejsce zerowe na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27297
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: Jan Kraszewski » 19 lis 2017, o 17:11

Tak jak napisałeś, to może oznaczać różne rzeczy. A wystarczyło napisać

\(\displaystyle{ (\exists t\in[0,1])\,f(t)=0.}\)

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: max123321 » 19 lis 2017, o 17:14

Tak miałem w książce napisane.

No dobra to czy tak jak napisałem powyżej jest dobrze czy nie?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27297
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: Jan Kraszewski » 19 lis 2017, o 17:20

Dobrze.

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2618
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Przestrzeń funkcji ciągłych

Post autor: max123321 » 23 lis 2017, o 01:41

No dobra to C. To weźmy dowolną funkcję f. Wtedy jeśli \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2 }\left( 1-\left| f(t)\right| \right)}\) to wszystkie kule będą chyba siedzieć tam gdzie trzeba. Czyli otwarty ta? Dobrze?

ODPOWIEDZ