Matematyka.pl

Sprawdzić czy jest to metryka:

\(\displaystyle{ d(x,y):=\begin{cases} 1 + 2|1/x - 1/y| &\text { dla } x\ne y\\ 0 &\text { dla } x = y \end{cases}\ \ x, y\in\NN}\)

Jeżeli tak, to wyznaczyć kule \(\displaystyle{ K(2, 1/2)}\) i \(\displaystyle{ K(2, 3/2)}\)

Spełnienie dwóch początkowych warunków jest oczywiste, a trzeci jest konsekwencją nierówności trójkąta dla modułów.

\(\displaystyle{ K\left(2, \frac12\right) = \left\{(x, y)\in \mathbb{R}^2 \ : \ x = 2, \ d(x, y) < \frac12 \right\}}\)
i pozostaje rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ 1 + 2\left|\frac{1}{2} - \frac{1}{y}\right| < \frac{1}{2}}\)
a następnie uwzględnić również punkt \(\displaystyle{ (2, 2)}\)

drugą kulę można wyznaczyć analogicznie.