Matematyka.pl

Udowodnij poniższe własności algebry zbiorów:
\(\displaystyle{ A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B}\)

Moja propozycja rozwiazania:
Dla dowolnego x
\(\displaystyle{ x \in (A \subseteq B)}\)

Z definicji podzbioru:
\(\displaystyle{ x \in A \Rightarrow x \in B}\)

Z prawa eliminacji implikacji:
\(\displaystyle{ x \notin A \lor x \in B}\)

Powyższe jest równoważne poniższemu:
\(\displaystyle{ x \in (A' \cup B)}\)

Niestety nie wiem jak dojść z tym do takiej sytuacji, żebym miał jakąś równość i żeby prawa strona równoważności, która przekształcam była taka sama jak lewa.

Manipulujesz znaczkami zamiast dowodzić.

gonti pisze:Dla dowolnego x
\(\displaystyle{ x \in (A \subseteq B)}\)

Ta formuła nie ma sensu.

gonti pisze:Niestety nie wiem jak dojść z tym do takiej sytuacji, żebym miał jakąś równość i żeby prawa strona równoważności, która przekształcam była taka sama jak lewa.

Bo to nie o to chodzi. Masz udowodnić równoważność dwóch stwierdzeń. Najlepiej pokazać osobno dwie implikacje:

1. \(\displaystyle{ A \cap B = A \Rightarrow A \subseteq B}\)

2. \(\displaystyle{ A \subseteq B \Rightarrow A \cap B = A}\).

W każdym z tych wynikań masz tezę, którą masz dowieść i założenie, które masz wykorzystać. Dowód powinien być opisany jako ciąg wnioskowań, zdaniami w języku polskim.

JK