Łańcuch zbiorów.
: 7 lip 2011, o 15:56
Niech \(\displaystyle{ \{A_t\}_{t\in \mathbb{T}}}\) będzie łańcuchem zbiorów przeliczalnych. Czy suma \(\displaystyle{ \bigcup_{t\in\mathbb{T}} A_t}\) jest zbiorem przeliczalnym?
O ile dobrze rozumiem Twoje zadanie (tzn. masz wstępującą rodzinę zbiorów przeliczalnych nieznanej "długości"), to odpowiedź brzmi "niekoniecznie". Wystarczy popatrzeć na \(\displaystyle{ \aleph_1= \bigcup_{\alpha<\aleph_1}\alpha}\), a każda \(\displaystyle{ \alpha}\), jako liczba porządkowa mniejsza od pierwszej nieprzeliczalnej liczby porządkowej, jest przeliczalna.
JK