Łańcuch zbiorów.

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
brzoskwinka1

Łańcuch zbiorów.

Post autor: brzoskwinka1 » 7 lip 2011, o 15:56

Niech \(\displaystyle{ \{A_t\}_{t\in \mathbb{T}}}\) będzie łańcuchem zbiorów przeliczalnych. Czy suma \(\displaystyle{ \bigcup_{t\in\mathbb{T}} A_t}\) jest zbiorem przeliczalnym?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26948
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4507 razy

Łańcuch zbiorów.

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lip 2011, o 16:33

O ile dobrze rozumiem Twoje zadanie (tzn. masz wstępującą rodzinę zbiorów przeliczalnych nieznanej "długości"), to odpowiedź brzmi "niekoniecznie". Wystarczy popatrzeć na \(\displaystyle{ \aleph_1= \bigcup_{\alpha<\aleph_1}\alpha}\), a każda \(\displaystyle{ \alpha}\), jako liczba porządkowa mniejsza od pierwszej nieprzeliczalnej liczby porządkowej, jest przeliczalna.

JK

ODPOWIEDZ