1.Różnicą symetryczną dwóch zbiorów A i B nazywamy zbiór \(\displaystyle{ A \div B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)}\). Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą równości:
a) \(\displaystyle{ A \div (B \div C) = (A \div B ) \div C}\)
b)\(\displaystyle{ A \cap (B \div C) = (A \cap B) \div (A \cap C)}\)
2. Niech \(\displaystyle{ A=\lbrace\o, \lbrace\o\rbrace \rbrace, B=\lbrace \lbrace \o \rbrace ,\lbrace \lbrace \o \rbrace \rbrace \rbrace}\). Wyznaczyć sumy mnogościowe \(\displaystyle{ \bigcup A}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcup B}\).
Teoria mnogości - zadania
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Teoria mnogości - zadania
1. b) Lepiej będzie (chyba) zacząć od prawej strony. Będę korzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ A \div B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)}\).
Przejdźmy zatem do dowodu:
\(\displaystyle{ (A \cap B) \div (A \cap C) = [(A \cap B) \cup (A \cap C)] \cap (A \cap B \cap A \cap C)^{\prime} = [A \cap (B \cup C)] \cap [A^{\prime} \cup (B \cap C)^{\prime}] = \underbrace{[A \cap (B\cup C) \cap A^{\prime}]}_{\emptyset} \cup [A \cap \underbrace{(B \cup C) \cap (B\cap C)^{\prime}}_{B \div C}] = A \cap (B \div C).}\)
\(\displaystyle{ A \div B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)}\).
Przejdźmy zatem do dowodu:
\(\displaystyle{ (A \cap B) \div (A \cap C) = [(A \cap B) \cup (A \cap C)] \cap (A \cap B \cap A \cap C)^{\prime} = [A \cap (B \cup C)] \cap [A^{\prime} \cup (B \cap C)^{\prime}] = \underbrace{[A \cap (B\cup C) \cap A^{\prime}]}_{\emptyset} \cup [A \cap \underbrace{(B \cup C) \cap (B\cap C)^{\prime}}_{B \div C}] = A \cap (B \div C).}\)