Matematyka.pl

Cztery studnie znajdują się w wierzchołkach kwadratu o bokach długości \(\displaystyle{ 1000}\)m. Należy zbudować chodnik łączący te cztery studnie, mając do dyspozycji tylko materiał na \(\displaystyle{ 2735}\)m. chodnika.

Fajne zadanie i pewnie nie jest trudne, ale jakoś nie widzę rozwiązania. Wiadomo, że punkt centralny odpada, bo przekracza to długość chodnika, a zatem nie będzie żadnego punktu centralnego i będzie to jakaś krzywa. Próbowałem sparamtryzować tą krzywą i napisać warunek na długość jednak bezskutecznie. Jakaś wskazówka?

Szukaj drogi postaci MInimalna ma długość \(\displaystyle{ 1+\sqrt3}\)

Ale jak wyliczyć punkty styku? Ubrałem to w układ współrzędnych i narysowałem przekątne kwadratu. Punkt styku to będzie punkt fermata trójkata, którego wierzchołkami są środek kwadratu i dwie studnie. Ale w funkcji odległości wyjdą pierwiastki i pochodne z nich to też pierwiastki... liczenie tego strasznie ciężkie. Ktoś pokaże jak to przerachować?

A o Jakobie Steinerze słyszałeś?

Co prawda pierwiastki wychodzą, ale jak na nie umiejętnie spojrzysz, to nawet nic nie trzeba liczyć oprócz jednej pochodnej.-- 16 lis 2017, o 06:04 --A jak sprytnie pomyślisz, to i pierwiastków nie trzeba

No pochodna po \(\displaystyle{ x}\)-ie wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}x }= \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2} }+\frac{x}{ \sqrt{x^2+(y-1000)^2} }+\frac{x-500}{ \sqrt{(x-500)^2+(y-500)^2} }=0}\)

No i co? Jak to ugryźć dalej? Jakby co to przyjąłem układ współrzędnych o środku w lewym dolnym wierzchołku kwadratu.

Weź może to przesuń tak, by środek kwadratu był w środku układu współrzędnych. Wtedy potrzebowałbyś zminimalizować \(\displaystyle{ d=2\left(x+2\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-x\right)^2}\right)}\)

W ogóle to zadanie jest luzackie, bo masz tylko sprawdzić, czy Ci materiału wystarczy, więc możesz sobie porobić różne własne założenia np. co do kształtu drogi.

PS Aha, ja to tam wyżej sprowadziłam do kwadratu jednostkowego, trzeba wynik później przeskalować.

Za zmienną weź kąt między ukośnym kawałkiem I pionowym brzegiem kwadratu