Cztery studnie

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2624
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Cztery studnie

Post autor: max123321 » 15 lis 2017, o 01:38

Cztery studnie znajdują się w wierzchołkach kwadratu o bokach długości \(\displaystyle{ 1000}\)m. Należy zbudować chodnik łączący te cztery studnie, mając do dyspozycji tylko materiał na \(\displaystyle{ 2735}\)m. chodnika.

Fajne zadanie i pewnie nie jest trudne, ale jakoś nie widzę rozwiązania. Wiadomo, że punkt centralny odpada, bo przekracza to długość chodnika, a zatem nie będzie żadnego punktu centralnego i będzie to jakaś krzywa. Próbowałem sparamtryzować tą krzywą i napisać warunek na długość jednak bezskutecznie. Jakaś wskazówka?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19221
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Cztery studnie

Post autor: a4karo » 15 lis 2017, o 04:18

Szukaj drogi postaci
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle; \draw[red] (0,1)--(.2,.5)--(0,0); \draw[red] (1,0)--(.8,.5)--(1,1); \draw[red] (.2,.5)--(.8,.5); \end{tikzpicture}}\)

MInimalna ma długość \(\displaystyle{ 1+\sqrt3}\)

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2624
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Cztery studnie

Post autor: max123321 » 16 lis 2017, o 00:45

Ale jak wyliczyć punkty styku? Ubrałem to w układ współrzędnych i narysowałem przekątne kwadratu. Punkt styku to będzie punkt fermata trójkata, którego wierzchołkami są środek kwadratu i dwie studnie. Ale w funkcji odległości wyjdą pierwiastki i pochodne z nich to też pierwiastki... liczenie tego strasznie ciężkie. Ktoś pokaże jak to przerachować?

Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 462
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Re: Cztery studnie

Post autor: Chewbacca97 » 16 lis 2017, o 03:51

A o Jakobie Steinerze słyszałeś?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19221
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Cztery studnie

Post autor: a4karo » 16 lis 2017, o 04:56

Co prawda pierwiastki wychodzą, ale jak na nie umiejętnie spojrzysz, to nawet nic nie trzeba liczyć oprócz jednej pochodnej.-- 16 lis 2017, o 06:04 --A jak sprytnie pomyślisz, to i pierwiastków nie trzeba

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2624
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 761 razy

Re: Cztery studnie

Post autor: max123321 » 16 lis 2017, o 23:16

No pochodna po \(\displaystyle{ x}\)-ie wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}x }= \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2} }+\frac{x}{ \sqrt{x^2+(y-1000)^2} }+\frac{x-500}{ \sqrt{(x-500)^2+(y-500)^2} }=0}\)

No i co? Jak to ugryźć dalej? Jakby co to przyjąłem układ współrzędnych o środku w lewym dolnym wierzchołku kwadratu.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

Re: Cztery studnie

Post autor: bosa_Nike » 17 lis 2017, o 06:14

Weź może to przesuń tak, by środek kwadratu był w środku układu współrzędnych. Wtedy potrzebowałbyś zminimalizować \(\displaystyle{ d=2\left(x+2\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-x\right)^2}\right)}\)

W ogóle to zadanie jest luzackie, bo masz tylko sprawdzić, czy Ci materiału wystarczy, więc możesz sobie porobić różne własne założenia np. co do kształtu drogi.

PS Aha, ja to tam wyżej sprowadziłam do kwadratu jednostkowego, trzeba wynik później przeskalować.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19221
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Cztery studnie

Post autor: a4karo » 17 lis 2017, o 07:00

Za zmienną weź kąt między ukośnym kawałkiem I pionowym brzegiem kwadratu

ODPOWIEDZ