Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień
: 6 gru 2008, o 00:21
Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień.
\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}},\quad y=\sqrt{3x-2}}\)
Po pierwszym podstawieniu \(\displaystyle{ y = \sqrt{3x-2}}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{ydy}{1+y}}\)
Po podstawieniu drugim \(\displaystyle{ 1+y = u}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{u-1}{u}du = - \frac{1}{6} t 1du + \frac{1}{6} t \frac{du}{u} = - \frac{u}{6} + \frac{\ln|u|}{6} = \frac{\ln{u} - u}{6} = \\ = \frac{\ln{\left(1+\sqrt{3x-2}\right)} - 1 - \sqrt{3x-2}}{6} + C}\)
Co w ostateczności daje mi:
\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}} = \frac{\ln{1+4}-1-4}{6} - \frac{\ln{2}-1-1}{6} = \frac{\ln{5}-\ln{2}-3}{6} = \\ = \frac{1}{6} \ln{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2}}\)
I nie wiem czy to źle czy nie. Bo w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ 2-\frac{2}{3}\ln{\frac{5}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}},\quad y=\sqrt{3x-2}}\)
Po pierwszym podstawieniu \(\displaystyle{ y = \sqrt{3x-2}}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{ydy}{1+y}}\)
Po podstawieniu drugim \(\displaystyle{ 1+y = u}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{u-1}{u}du = - \frac{1}{6} t 1du + \frac{1}{6} t \frac{du}{u} = - \frac{u}{6} + \frac{\ln|u|}{6} = \frac{\ln{u} - u}{6} = \\ = \frac{\ln{\left(1+\sqrt{3x-2}\right)} - 1 - \sqrt{3x-2}}{6} + C}\)
Co w ostateczności daje mi:
\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}} = \frac{\ln{1+4}-1-4}{6} - \frac{\ln{2}-1-1}{6} = \frac{\ln{5}-\ln{2}-3}{6} = \\ = \frac{1}{6} \ln{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2}}\)
I nie wiem czy to źle czy nie. Bo w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ 2-\frac{2}{3}\ln{\frac{5}{2}}}\)