Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień

Post autor: tiraeth » 6 gru 2008, o 00:21

Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień.

\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}},\quad y=\sqrt{3x-2}}\)

Po pierwszym podstawieniu \(\displaystyle{ y = \sqrt{3x-2}}\) otrzymuję:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{ydy}{1+y}}\)

Po podstawieniu drugim \(\displaystyle{ 1+y = u}\) otrzymuję:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{6} t \frac{u-1}{u}du = - \frac{1}{6} t 1du + \frac{1}{6} t \frac{du}{u} = - \frac{u}{6} + \frac{\ln|u|}{6} = \frac{\ln{u} - u}{6} = \\ = \frac{\ln{\left(1+\sqrt{3x-2}\right)} - 1 - \sqrt{3x-2}}{6} + C}\)

Co w ostateczności daje mi:

\(\displaystyle{ \int^{6}_{1} \frac{dx}{1+\sqrt{3x-2}} = \frac{\ln{1+4}-1-4}{6} - \frac{\ln{2}-1-1}{6} = \frac{\ln{5}-\ln{2}-3}{6} = \\ = \frac{1}{6} \ln{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2}}\)

I nie wiem czy to źle czy nie. Bo w odpowiedziach mam \(\displaystyle{ 2-\frac{2}{3}\ln{\frac{5}{2}}}\)

Awatar użytkownika
jarzabek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 11 lis 2007, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 181 razy

Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień

Post autor: jarzabek89 » 6 gru 2008, o 01:03

Wydaje mi się, że błąd jest już przy podstawieniu:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{3x-2}}\)
\(\displaystyle{ dy=\frac{1}{2}(3x-2)^{\frac{-1}{2}}3dx=\frac{3}{2(3x-2)^{\frac{1}{2}}}dx}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{2y}{3}dy}\)
Jak teraz podstawimy pod całkę otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+y}\frac{2y}{3}dy=\frac{2}{3}\int \frac{ydy}{1+y}}\)

tiraeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 13 paź 2008, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 14 razy

Obliczyć całkę oznaczoną dokonując wskazanych podstawień

Post autor: tiraeth » 6 gru 2008, o 01:05

Kurcze felek, fakt, powaliło mi się przy wzorze na \(\displaystyle{ \left(x^a\right)'}\), po prostu podzieliłem przez a-1, a nie pomnożyłem przez a... ehh

ODPOWIEDZ