Matematyka.pl

Obliczyć \(\displaystyle{ \int\int_{D}(x^{2} + y^{2})dxdy}\) gdzie D jest obszarem 1-szej ćwiartki układu 0XY ograniczonym krzywymi: \(\displaystyle{ xy=5, xy=10,y=\frac{x}{2}, y=2x}\)

Obrazek wygasł

Zatem naszą całkę trzeba rozbić na trzy części:
1. od \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{10}}{2}}\) do \(\displaystyle{ x=\sqrt{5}}\)
2. od \(\displaystyle{ x=\sqrt{5}}\) do \(\displaystyle{ x=\sqrt{10}}\)
3. od \(\displaystyle{ x=\sqrt{10}}\) do \(\displaystyle{ x=2\sqrt{5}}\)

W każdym z nich będą inne granice całkowania. Dostajemy:
\(\displaystyle{ \iint_D (x^2+y^2)dxdy=\\= \int\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{2x}(x^2+y^2)dydx + \int\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx + \int\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx}\)

poszczególne całki:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{2x}(x^2+y^2)dydx =
\int\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} \left(\frac{14x^3}{3}-5x-\frac{125}{3x^3} \right) dx = \frac{275}{24}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} \int\limits_{\frac{5}{x}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx = \int\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} \left( 5x+\frac{875}{3x^3} \right) dx = \frac{325}{12}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} \int\limits_{\frac{x}{2}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx =
\int\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} \left(-\frac{13x^3}{24}+10x+\frac{1000}{3x^3} \right) dx = \frac{425}{24}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \iint_D (x^2+y^2)dxdy=\frac{275}{24}+\frac{325}{12}+\frac{425}{24}=\frac{225}{4}}\)

Zamiast obliczać trzy całki, można obliczyć tylko jedną - stosując zamianę współrzędnych na biegunowe, wtedy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\arctan \frac{1}{2}}^{\arctan 2} \, \mbox{d}\theta \int\limits_{\sqrt{\frac{10}{\sin 2 \theta}}}^{\sqrt{\frac{20}{\sin 2 \theta}}} \rho^3 \, \mbox{d}\rho}\)
Obliczenia wcale jakieś kosmiczne nie są

Temat został odkopany przez mola, ale myślę, że ze względów edukacyjnych warto do niego wrócić.

Otóż przez każdy punkt obszaru całkowania przechodzi dokładnie jedna hiperbola o równaniu \(\displaystyle{ xy=a,\ 5\le a\le 10}\) oraz dokładnie jedna prosta postaci \(\displaystyle{ y=bx, \ 1/2\le b\le 2}\).
To sugeruje, aby użyć takiej właśnie zamiany zmiennych \(\displaystyle{ (x,y)\to(a,b)}\)
Obszar całkowania staje się wtedy prostokątem i trzeba sie tylko trochę pobawić jakobianem.
Z \begin{cases}xy=a\\y=bx\end{cases}
dostajemy \(\displaystyle{ x^2=a/b}\) czyli \(\displaystyle{ x=a^{1/2}b^{-1/2}}\) oraz \(\displaystyle{ y^2=ab}\) czyli \(\displaystyle{ y=a^{1/2}b^{1/2}}\).
Jakobian tego przekształcenia to
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}\frac{1}{2}a^{-1/2}b^{-1/2} & -\frac{1}{2}a^{1/2}b^{-3/2}\\\frac12 a^{-1/2}b^{1/2}&\frac12a^{1/2}b^{-1/2}\end{vmatrix}=\frac12b^{-1}}\)
I całą całka sprowadza się do

\(\displaystyle{ \frac12\int_{1/2}^{2}\int_{5}^{10} \left(\frac{a}{b}+ab\right)\frac1b dadb}\)