całka podwójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

całka podwójna

Post autor: Novy » 8 paź 2007, o 17:33

Obliczyć \(\displaystyle{ \int\int_{D}(x^{2} + y^{2})dxdy}\) gdzie D jest obszarem 1-szej ćwiartki układu 0XY ograniczonym krzywymi: \(\displaystyle{ xy=5, xy=10,y=\frac{x}{2}, y=2x}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

całka podwójna

Post autor: scyth » 9 paź 2007, o 10:20

Obrazek:


Zatem naszą całkę trzeba rozbić na trzy części:
1. od \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{10}}{2}}\) do \(\displaystyle{ x=\sqrt{5}}\)
2. od \(\displaystyle{ x=\sqrt{5}}\) do \(\displaystyle{ x=\sqrt{10}}\)
3. od \(\displaystyle{ x=\sqrt{10}}\) do \(\displaystyle{ x=2\sqrt{5}}\)

W każdym z nich będą inne granice całkowania. Dostajemy:
\(\displaystyle{ \iint_D (x^2+y^2)dxdy=\\= t\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} t\limits_{\frac{5}{x}}^{2x}(x^2+y^2)dydx + t\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} t\limits_{\frac{5}{x}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx + t\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} t\limits_{\frac{x}{2}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx}\)

poszczególne całki:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} t\limits_{\frac{5}{x}}^{2x}(x^2+y^2)dydx =
t\limits_{\frac{\sqrt{10}}{2}}^{\sqrt{5}} ft(\frac{14x^3}{3}-5x-\frac{125}{3x^3} \right) dx = \frac{275}{24}}\)


\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} t\limits_{\frac{5}{x}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx = t\limits_{\sqrt{5}}^{\sqrt{10}} ft( 5x+\frac{875}{3x^3} \right) dx = \frac{325}{12}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} t\limits_{\frac{x}{2}}^{\frac{10}{x}}(x^2+y^2)dydx =
t\limits_{\sqrt{10}}^{2\sqrt{5}} ft(-\frac{13x^3}{24}+10x+\frac{1000}{3x^3} \right) dx = \frac{425}{24}}\)


Zatem:
\(\displaystyle{ \iint_D (x^2+y^2)dxdy=\frac{275}{24}+\frac{325}{12}+\frac{425}{24}=\frac{225}{4}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka podwójna

Post autor: luka52 » 9 paź 2007, o 13:27

Zamiast obliczać trzy całki, można obliczyć tylko jedną - stosując zamianę współrzędnych na biegunowe, wtedy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\arctan \frac{1}{2}}^{\arctan 2} \, \mbox{d}\theta t\limits_{\sqrt{\frac{10}{\sin 2 \theta}}}^{\sqrt{\frac{20}{\sin 2 \theta}}} \rho^3 \, \mbox{d}\rho}\)
Obliczenia wcale jakieś kosmiczne nie są

ODPOWIEDZ