Matematyka.pl

Witajcie, mam pytanie.
Jak obliczyć całkę z \(\displaystyle{ sin^{10t}}\) korzystając z trójkąta pascala? Profesor mi podpowiedział żebym zwrócił uwagę na to iż w parzystych potęgach występuje środkowy element w trójkącie...
Wiem też że należy skorzystać z tego rozwinięcia sinusa:
\(\displaystyle{ sin(t) = \frac{e^{jt} - e^{-jt}}{2j}}\)
wydaje mi się, że przydatna może być również postać \(\displaystyle{ e^{jt} = cost + jsint}\)
Wiecie jak się oblica takie całki korzystając z trójkąta pascala?

Nie spotkałam się z zapisem, że \(\displaystyle{ j=\sqrt{-1}}\), więc zamiast \(\displaystyle{ j}\) będę używać \(\displaystyle{ i=\sqrt{-1}}\). Wtedy z podanego przez Ciebie wzoru:
\(\displaystyle{ e^{it}=cost+isint}\)
wynika, że
\(\displaystyle{ sint=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \int sin^{10} t dt= t (\frac{e^{it}-e^{-it}}{2})^{10}dt \\
= \frac{1}{1024} t \sum_{k=0}^{10} {10\choose k} e^{(10-2k)it} dt \\
=\frac{1}{1024} t \sum_{l=0}^{4} ((-1)^{l}{10\choose l}(e^{(10-2l)it}-e^{-(10-2l)it}) )-{10\choose 5} dt \\
=\frac{1}{1024} t 2\sum_{l=0}^{4} ((-1)^{l}{10\choose l}sin(10-2l)t) - 252 dt \\
= \frac{1}{512}( \sum_{l=0}^{4} ((-1)^{l+1}{10\choose l} \frac{cos(10-2l)t}{10-2l}) -126t)}\)

Z budowy trójkąta Pascala korzystamy między 2. a 3. linijką, parując wyrazy leżące symetrycznie do wyrazu środkowego w trójkącie.

Tam jednak \(\displaystyle{ \sin t = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}}\), i dalej w drugiej linijce przed wszystkim minus, a pod całką \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}{10\choose k}e^{(10 - 2k)it}}\) itd...