trójkąt pascala - sposób na całki f. trygonometrycznyc

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
adrian1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 21 wrz 2007, o 18:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

trójkąt pascala - sposób na całki f. trygonometrycznyc

Post autor: adrian1987 » 21 wrz 2007, o 20:19

Witajcie, mam pytanie.
Jak obliczyć całkę z \(\displaystyle{ sin^{10t}}\) korzystając z trójkąta pascala? Profesor mi podpowiedział żebym zwrócił uwagę na to iż w parzystych potęgach występuje środkowy element w trójkącie...
Wiem też że należy skorzystać z tego rozwinięcia sinusa:
\(\displaystyle{ sin(t) = \frac{e^{jt} - e^{-jt}}{2j}}\)
wydaje mi się, że przydatna może być również postać \(\displaystyle{ e^{jt} = cost + jsint}\)
Wiecie jak się oblica takie całki korzystając z trójkąta pascala?
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2007, o 08:20 przez adrian1987, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

martaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 2 lut 2007, o 18:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 40 razy

trójkąt pascala - sposób na całki f. trygonometrycznyc

Post autor: martaa » 23 wrz 2007, o 08:38

Nie spotkałam się z zapisem, że \(\displaystyle{ j=\sqrt{-1}}\), więc zamiast \(\displaystyle{ j}\) będę używać \(\displaystyle{ i=\sqrt{-1}}\). Wtedy z podanego przez Ciebie wzoru:
\(\displaystyle{ e^{it}=cost+isint}\)
wynika, że
\(\displaystyle{ sint=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \int sin^{10} t dt= t (\frac{e^{it}-e^{-it}}{2})^{10}dt \\
= \frac{1}{1024} t \sum_{k=0}^{10} {10\choose k} e^{(10-2k)it} dt \\
=\frac{1}{1024} t \sum_{l=0}^{4} ((-1)^{l}{10\choose l}(e^{(10-2l)it}-e^{-(10-2l)it}) )-{10\choose 5} dt \\
=\frac{1}{1024} t 2\sum_{l=0}^{4} ((-1)^{l}{10\choose l}sin(10-2l)t) - 252 dt \\
= \frac{1}{512}( \sum_{l=0}^{4} ((-1)^{l+1}{10\choose l} \frac{cos(10-2l)t}{10-2l}) -126t)}\)


Z budowy trójkąta Pascala korzystamy między 2. a 3. linijką, parując wyrazy leżące symetrycznie do wyrazu środkowego w trójkącie.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

trójkąt pascala - sposób na całki f. trygonometrycznyc

Post autor: max » 23 wrz 2007, o 13:06

Tam jednak \(\displaystyle{ \sin t = \frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}}\), i dalej w drugiej linijce przed wszystkim minus, a pod całką \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}{10\choose k}e^{(10 - 2k)it}}\) itd...

ODPOWIEDZ