Matematyka.pl

Witam oto zadanie:

Znaleść objętość bryły ograniczonej następującymi powierzchniami:

\(\displaystyle{ x+y+z=10, x^{2}+y^{2}=4, x=0, y=0, z=0}\)

stosując zamianę zmiennych na współrz. biegunowe.

\(\displaystyle{ |V| = \int\limits_0^{2 \pi} \, \mbox{d}\theta \int\limits_0^2 \rho (10 - \rho (\sin \theta + \cos \theta)) \,
\mbox{d}\rho = \ldots = 40 \pi}\)
Rachunki nie są straszne... b. ważny jest rysunek

hm w odpowiedziach jest 10 pi - 16/3.

a jaki jest obszar całkowania? Chodzi mi o to r,dlaczego ono sie tak zmienia...

Mamy \(\displaystyle{ 0 \leq \rho \leq 2}\) gdyż wynika to bezpośrenio z r. \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 4}\) - tj. walca o promieniu 2 i środku w (0,0).

A co do funkcji podcałkowej, to jedno \(\displaystyle{ \rho}\) to jakobian przekształcenia, a reszta w nawiasie pochodzi z tego iż obszar jest od góry ograniczony przez płaszczyznę\(\displaystyle{ z=10 - \rho (\sin \theta + \cos \theta)}\) (czyli inaczej x+y+z=10) oraz z dołu przez z=0. Odejmując jedno od drugiego mamy to co jest pod całką.

Ja to rozumie tak, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\) jest okręgiem a okrąg ma stały promień =2 i tu właśnie pojawia sie moj problem przy tym zadaniu. W takim razie dlaczego ten promień jest zmienny?

A dlaczego miałby być stały? Przecież należy obliczyć objętość bryły, więc promień musi przybrać wszystkie wartości z przedziału [0,2].