zadanie z całka podwójną

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
hasacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 25 gru 2006, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

zadanie z całka podwójną

Post autor: hasacz » 2 wrz 2007, o 18:53

Witam oto zadanie:

Znaleść objętość bryły ograniczonej następującymi powierzchniami:

\(\displaystyle{ x+y+z=10, x^{2}+y^{2}=4, x=0, y=0, z=0}\)

stosując zamianę zmiennych na współrz. biegunowe.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

zadanie z całka podwójną

Post autor: luka52 » 2 wrz 2007, o 19:04

\(\displaystyle{ |V| = t\limits_0^{2 \pi} \, \mbox{d}\theta t\limits_0^2 \rho (10 - \rho (\sin \theta + \cos \theta)) \,
\mbox{d}\rho = \ldots = 40 \pi}\)

Rachunki nie są straszne... b. ważny jest rysunek

hasacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 25 gru 2006, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

zadanie z całka podwójną

Post autor: hasacz » 2 wrz 2007, o 19:09

hm w odpowiedziach jest 10 pi - 16/3.

a jaki jest obszar całkowania? Chodzi mi o to r,dlaczego ono sie tak zmienia...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

zadanie z całka podwójną

Post autor: luka52 » 2 wrz 2007, o 19:17

Mamy \(\displaystyle{ 0 q \rho q 2}\) gdyż wynika to bezpośrenio z r. \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 4}\) - tj. walca o promieniu 2 i środku w (0,0).

A co do funkcji podcałkowej, to jedno \(\displaystyle{ \rho}\) to jakobian przekształcenia, a reszta w nawiasie pochodzi z tego iż obszar jest od góry ograniczony przez płaszczyznę\(\displaystyle{ z=10 - \rho (\sin \theta + \cos \theata)}\) (czyli inaczej x+y+z=10) oraz z dołu przez z=0. Odejmując jedno od drugiego mamy to co jest pod całką.

hasacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 25 gru 2006, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

zadanie z całka podwójną

Post autor: hasacz » 2 wrz 2007, o 19:27

Ja to rozumie tak,że x^2+y^2=4 jest okręgiem a okrąg ma stały promień =2 i tu właśnie pojawia sie moj problem przy tym zadaniu. W takim razie dlaczego ten promień jest zmienny?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

zadanie z całka podwójną

Post autor: luka52 » 2 wrz 2007, o 19:52

A dlaczego miałby być stały? Przecież należy obliczyć objętość bryły, więc promień musi przybrać wszystkie wartości z przedziału [0,2].

ODPOWIEDZ