Matematyka.pl

czy mógłby ktos mi wytłumaczyć o co chodzi z ta zamianą kolejności całkowania bo cos nie bardzo rozumiem ja np zamienilam całke
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx\int_{x-1}^{1-\sqrt{1-x^{2}}}dy f}\) na
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}dy\int_{1-\sqrt{-2y-y^{2}}}^{y+1}}\)
i oczywiscie jest zle inaczej niz w odpowiedziach jest na przedzialkach ktorych w ogole nie rozumiem dlaczego

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx\int_{x-1}^{1-\sqrt{1-x^{2}}}f(x,y)dy=}\)

najpierw rysujemy obszar
Obrazek wygasł

odczytujemy granicę po \(\displaystyle{ dy \quad y [-2,1]}\)
następnie z granic y w całce "przed zamianą"
obliczamy x
\(\displaystyle{ y=x-1 \\
x=y+1\\\\
y=1-\sqrt{1-x^{2}}\\
1-y=\sqrt{1-x^{2}}\\
(1-y)^2=1-x^2\\
x^2=1-(1-y)^2\\
x= \sqrt{1-(1-y)^2}}\)
No i teraz z równań które otrzymaliśmy próbujemy narysować obszar w zamienionych granicach, żeby pokrywał się z obszarem w starych granicach.
Całki będą równe, gdy obszary się pokryją.

\(\displaystyle{ =\int_{-2}^{0}dy \int_{-1}^{y+1} f(x,y)dx + \int_{0}^{1}dy\left( \int_{-1}^{-\sqrt{1-(1-y)^2}}f(x,y)dx+ \int_{\sqrt{1-(1-y)^2}}^{1}f(x,y)dx\right)}\)