zmiana kolejnosci calkowania

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

zmiana kolejnosci calkowania

Post autor: joannna » 23 sie 2007, o 11:18

czy mógłby ktos mi wytłumaczyć o co chodzi z ta zamianą kolejności całkowania bo cos nie bardzo rozumiem ja np zamienilam całke
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx\int_{x-1}^{1-\sqrt{1-x^{2}}dy f}\) na
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}dy\int_{1-\sqrt{-2y-y^{2}}}^{y+1}}\)
i oczywiscie jest zle inaczej niz w odpowiedziach jest na przedzialkach ktorych wogole nie rozumiem dlaczego
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Nty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 maja 2007, o 23:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Pomógł: 24 razy

zmiana kolejnosci calkowania

Post autor: Nty » 23 sie 2007, o 12:05

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dx\int_{x-1}^{1-\sqrt{1-x^{2}}}f(x,y)dy=}\)

najpierw rysujemy obszar


odczytujemy granicę po \(\displaystyle{ dy \quad y [-2,1]}\)
następnie z granic y w całce "przed zamianą"
obliczamy x
\(\displaystyle{ y=x-1 \\
x=y+1\\
\hline \\}\)

\(\displaystyle{ y=1-\sqrt{1-x^{2}}\\
1-y=\sqrt{1-x^{2}}\\
(1-y)^2=1-x^2\\
x^2=1-(1-y)^2\\
x= \sqrt{1-(1-y)^2}}\)

No i teraz z równań które otrzymaliśmy próbujemy narysować obszar w zamienionych granicach, żeby pokrywał się z obszarem w starych granicach.
Całki będą równe, gdy obszary się pokryją.

\(\displaystyle{ =\int_{-2}^{0}dy t_{-1}^{y+1} f(x,y)dx + t_{0}^{1}dy\left( t_{-1}^{-\sqrt{1-(1-y)^2}}f(x,y)dx+ t_{\sqrt{1-(1-y)^2}}^{1}f(x,y)dx\right)}\)

ODPOWIEDZ