Strona 1 z 1
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 18:46
autor: Karakalla
Witam. Chciałem spytać czy dobrze rozwiązałem, czy gdzieś się walnąłem? Pozdrawiam:)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x} dx}{(x+1)^2} = \left|\begin{array}{c}x=t^2\\dx=2tdt\end{array}\right| = 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2} = 2 \int \frac{t^2 + 1}{(t^2 +1)^2}dt - 2\int \frac{dt}{(t^2 +1)^2} =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \arctan t + \frac{2}{t^2 +1} + C = 2 \arctan \sqrt{x} + \frac{2}{x+1} +C}\)
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 19:04
autor: wszamol
Policz pochodną ze swojego wyniku i zobacz czy otrzymałeś funkcję którą na początku całkowałeś.
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 19:13
autor: Lbubsazob
Masz błąd już na samym początku, bo podstawiasz \(\displaystyle{ x=t^2}\), a potem masz \(\displaystyle{ 2 \int \frac{t^2 \mbox{d}t}{(t^2 + 1)^2}}\), czyli \(\displaystyle{ t^2=\sqrt x}\).
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 19:50
autor: mmttdd
To akurat jest dobrze, bo dochodzi jeszcze \(\displaystyle{ \mbox{d}x =2t \mbox{d}t}\), dlatego w liczniku jest \(\displaystyle{ t^2}\), natomiast źle policzona jest całka \(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}t }{(t^2 +1)^2}}\)
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 19:59
autor: Lbubsazob
Sorry, źle spojrzałam.
Wynik powinien wyjść
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 21:03
autor: Karakalla
Właśnie ta całka mi nie pasowała. Mogę prosić o jakąś podpowiedź jak to zacząć?
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 21:33
autor: Lbubsazob
Pewnie można też inaczej, ale robiłam to tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(t^2+1)^2} \mbox{d}t \\ u=\arc\tg t \\
t=\tg u \\
\mbox{d}t=\frac{1}{\cos^2 u} \mbox{d}u\\
\\
t^2+1=\tg^2 u+1=\frac{\sin^2u}{\cos^2u}+\frac{\cos^2u}{\cos^2u}=\frac{1}{\cos^2 u} \\
\frac{1}{\tg^2u+1}=\cos^2 u}\)
No to \(\displaystyle{ \int \cos^2 u \mbox{d} u}\) liczysz przez podstawienie \(\displaystyle{ v=\cos u}\).
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 21:36
autor: aalmond
Można też przez części. Do tego typu całek jest gotowy wzór rekurencyjny.
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 21:39
autor: Karakalla
Dzięki:)
Całka nieoznaczona.
: 28 sie 2011, o 23:24
autor: Lbubsazob
aalmond pisze:Można też przez części. Do tego typu całek jest gotowy wzór rekurencyjny.
Rzeczywiście jest. Dopadłam wreszcie swoją kartkę ze wzorami z całek i znalazłam:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^2+1} \mbox{d}x =\arc\tg x+C \\ \int \frac{1}{\left( x^2+1\right)^n } \mbox{d}x = \frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+1\right)^{n-1} } + \frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{\left( x^2+1\right)^{n-1} } \mbox{d}x}\)