Całka nieoznaczona.

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Karakalla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 25 cze 2009, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Całka nieoznaczona.

Post autor: Karakalla » 28 sie 2011, o 18:46

Witam. Chciałem spytać czy dobrze rozwiązałem, czy gdzieś się walnąłem? Pozdrawiam:)

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x} dx}{(x+1)^2} = \left|\begin{array}{c}x=t^2\\dx=2tdt\end{array}\right| = 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \int \frac{t^2 dt}{(t^2 + 1)^2} = 2 \int \frac{t^2 + 1}{(t^2 +1)^2}dt - 2\int \frac{dt}{(t^2 +1)^2} =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \arctan t + \frac{2}{t^2 +1} + C = 2 \arctan \sqrt{x} + \frac{2}{x+1} +C}\)

wszamol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 64 razy

Całka nieoznaczona.

Post autor: wszamol » 28 sie 2011, o 19:04

Policz pochodną ze swojego wyniku i zobacz czy otrzymałeś funkcję którą na początku całkowałeś.

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Całka nieoznaczona.

Post autor: Lbubsazob » 28 sie 2011, o 19:13

Masz błąd już na samym początku, bo podstawiasz \(\displaystyle{ x=t^2}\), a potem masz \(\displaystyle{ 2 \int \frac{t^2 \mbox{d}t}{(t^2 + 1)^2}}\), czyli \(\displaystyle{ t^2=\sqrt x}\).

mmttdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 113
Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 20 razy

Całka nieoznaczona.

Post autor: mmttdd » 28 sie 2011, o 19:50

To akurat jest dobrze, bo dochodzi jeszcze \(\displaystyle{ \mbox{d}x =2t \mbox{d}t}\), dlatego w liczniku jest \(\displaystyle{ t^2}\), natomiast źle policzona jest całka \(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}t }{(t^2 +1)^2}}\)

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Całka nieoznaczona.

Post autor: Lbubsazob » 28 sie 2011, o 19:59

Sorry, źle spojrzałam.

Wynik powinien wyjść
Ukryta treść:    

Karakalla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 25 cze 2009, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Całka nieoznaczona.

Post autor: Karakalla » 28 sie 2011, o 21:03

Właśnie ta całka mi nie pasowała. Mogę prosić o jakąś podpowiedź jak to zacząć?

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Całka nieoznaczona.

Post autor: Lbubsazob » 28 sie 2011, o 21:33

Pewnie można też inaczej, ale robiłam to tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(t^2+1)^2} \mbox{d}t \\ u=\arc\tg t \\ t=\tg u \\ \mbox{d}t=\frac{1}{\cos^2 u} \mbox{d}u\\ \\ t^2+1=\tg^2 u+1=\frac{\sin^2u}{\cos^2u}+\frac{\cos^2u}{\cos^2u}=\frac{1}{\cos^2 u} \\ \frac{1}{\tg^2u+1}=\cos^2 u}\)
No to \(\displaystyle{ \int \cos^2 u \mbox{d} u}\) liczysz przez podstawienie \(\displaystyle{ v=\cos u}\).

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Całka nieoznaczona.

Post autor: aalmond » 28 sie 2011, o 21:36

Można też przez części. Do tego typu całek jest gotowy wzór rekurencyjny.

Karakalla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 25 cze 2009, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Całka nieoznaczona.

Post autor: Karakalla » 28 sie 2011, o 21:39

Dzięki:)

Lbubsazob
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4669
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Całka nieoznaczona.

Post autor: Lbubsazob » 28 sie 2011, o 23:24

aalmond pisze:Można też przez części. Do tego typu całek jest gotowy wzór rekurencyjny.
Rzeczywiście jest. Dopadłam wreszcie swoją kartkę ze wzorami z całek i znalazłam:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x^2+1} \mbox{d}x =\arc\tg x+C \\ \int \frac{1}{\left( x^2+1\right)^n } \mbox{d}x = \frac{1}{2n-2} \cdot \frac{x}{\left( x^2+1\right)^{n-1} } + \frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{\left( x^2+1\right)^{n-1} } \mbox{d}x}\)

ODPOWIEDZ