Strona 1 z 1
całka podwójna
: 27 sie 2011, o 15:51
autor: ponter3
Cześć mam problem z taką oto całką:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1} \frac{1}{1+x^4} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
obliczam całkę po \(\displaystyle{ \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \int 1-(1+x^4)\mbox{d}y = \frac{y}{1+x^4}}\)
i potem licząc określona \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4}\mbox{d}y = \frac{1}{1+x^4}}\)
więc zostaje mi \(\displaystyle{ \int\limits_{y}^{1} \frac{1}{1+x^4}\mbox{d}x}\)
Co jest źle, jak to zrobi?
całka podwójna
: 27 sie 2011, o 21:12
autor: tito1977
najpierw trzeba policzyc całke po zmiennej x
całka podwójna
: 27 sie 2011, o 21:38
autor: ponter3
A jakaś podpowiedź? Części albo jakie podstawienie?
całka podwójna
: 27 sie 2011, o 21:39
autor: aalmond
rozłóż na ułamki proste
całka podwójna
: 27 sie 2011, o 22:00
autor: ponter3
Jeszcze może jakaś podpowiedź?
całka podwójna
: 27 sie 2011, o 22:06
autor: aalmond
\(\displaystyle{ x ^{4} +1 = (x ^{2} +1) ^{2} - 2x ^{2} = ...}\) i dalej wzór na różnicę kwadratów
całka podwójna
: 28 sie 2011, o 00:45
autor: ponter3
ok
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^4}= \frac{- \frac{ \sqrt{2} }{4}x+ \frac{1}{2} }{x^2 -\sqrt{2}x+1 }+\frac{ \frac{ \sqrt{2} }{4}x+ \frac{1}{2} }{x^2+ \sqrt{2}x+1 }}\)
mam rozłożone na ułamek prosty..
teraz moje pytanie odnośnie całki
\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{2}x}{x^2-\sqrt{2}x+1}}\)
bo z dwóch pozostałych wyjdą logarytmy
całka podwójna
: 28 sie 2011, o 00:49
autor: aalmond
podstawienie za mianownik:
\(\displaystyle{ x^2-\sqrt{2}x+1 = p}\)
całka podwójna
: 28 sie 2011, o 01:04
autor: ponter3
Jakoś nie mogę zauważyć związku...
całka podwójna
: 28 sie 2011, o 01:21
autor: aalmond
\(\displaystyle{ x^2-\sqrt{2}x+1 = p \\
(2x - \sqrt{2}) \mbox{d}x = \mbox{d}p}\)
Licznik:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot (2x - \sqrt{2} + \sqrt{2})=\frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot (2x - \sqrt{2}) + 1}\)
i masz dwie całki.
całka podwójna
: 28 sie 2011, o 14:01
autor: ponter3
Nie ma może łatwiejszego sposobu na rozwiązanie jej?