całka podwójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
ponter3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sie 2011, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

całka podwójna

Post autor: ponter3 » 27 sie 2011, o 15:51

Cześć mam problem z taką oto całką:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1} \frac{1}{1+x^4} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

obliczam całkę po \(\displaystyle{ \mbox{d}y}\)

\(\displaystyle{ \int 1-(1+x^4)\mbox{d}y = \frac{y}{1+x^4}}\)

i potem licząc określona \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4}\mbox{d}y = \frac{1}{1+x^4}}\)
więc zostaje mi \(\displaystyle{ \int\limits_{y}^{1} \frac{1}{1+x^4}\mbox{d}x}\)

Co jest źle, jak to zrobi?
Ostatnio zmieniony 27 sie 2011, o 18:46 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

tito1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 23 maja 2011, o 10:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 7 razy

całka podwójna

Post autor: tito1977 » 27 sie 2011, o 21:12

najpierw trzeba policzyc całke po zmiennej x

ponter3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sie 2011, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

całka podwójna

Post autor: ponter3 » 27 sie 2011, o 21:38

A jakaś podpowiedź? Części albo jakie podstawienie?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna

Post autor: aalmond » 27 sie 2011, o 21:39

rozłóż na ułamki proste

ponter3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sie 2011, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

całka podwójna

Post autor: ponter3 » 27 sie 2011, o 22:00

Jeszcze może jakaś podpowiedź?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna

Post autor: aalmond » 27 sie 2011, o 22:06

\(\displaystyle{ x ^{4} +1 = (x ^{2} +1) ^{2} - 2x ^{2} = ...}\) i dalej wzór na różnicę kwadratów

ponter3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sie 2011, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

całka podwójna

Post autor: ponter3 » 28 sie 2011, o 00:45

ok

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^4}= \frac{- \frac{ \sqrt{2} }{4}x+ \frac{1}{2} }{x^2 -\sqrt{2}x+1 }+\frac{ \frac{ \sqrt{2} }{4}x+ \frac{1}{2} }{x^2+ \sqrt{2}x+1 }}\)

mam rozłożone na ułamek prosty..

teraz moje pytanie odnośnie całki

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{2}x}{x^2-\sqrt{2}x+1}}\)

bo z dwóch pozostałych wyjdą logarytmy
Ostatnio zmieniony 28 sie 2011, o 00:55 przez ponter3, łącznie zmieniany 1 raz.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna

Post autor: aalmond » 28 sie 2011, o 00:49

podstawienie za mianownik:


\(\displaystyle{ x^2-\sqrt{2}x+1 = p}\)

ponter3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sie 2011, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

całka podwójna

Post autor: ponter3 » 28 sie 2011, o 01:04

Jakoś nie mogę zauważyć związku...

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

całka podwójna

Post autor: aalmond » 28 sie 2011, o 01:21

\(\displaystyle{ x^2-\sqrt{2}x+1 = p \\ (2x - \sqrt{2}) \mbox{d}x = \mbox{d}p}\)

Licznik:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot (2x - \sqrt{2} + \sqrt{2})=\frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot (2x - \sqrt{2}) + 1}\)

i masz dwie całki.

ponter3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 sie 2011, o 15:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

całka podwójna

Post autor: ponter3 » 28 sie 2011, o 14:01

Nie ma może łatwiejszego sposobu na rozwiązanie jej?

ODPOWIEDZ