Matematyka.pl

Obliczyć całkę oznaczoną
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\infty} \frac{lnx}{x^{3}}}\)
Nieoznaczona wyszła mi:
\(\displaystyle{ -\frac{lnx}{2x^{2}} - \frac{1}{2x} + c}\)
teraz mam tylko problem z wyliczeniem jej wartości, doszedłem do:
\(\displaystyle{ \lim_{s\to\infty} -\frac{lns}{2s^{2}} + \frac{1}{2}}\)
i nie wiem co dalej ;/ jakby sie pozbyć \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), możnaby z hopitala, ale jak sie go pozbyć?-- 24 czerwca 2010, 16:40 --a czy można zrobić tak:
\(\displaystyle{ \lim_{s\to\infty} -\frac{lns}{2s^{2}} + \frac{1}{2} = \lim_{s\to\infty} -\frac{lns}{2s^{2}} + \lim_{s\to\infty} \frac{1}{2}}\)
? wtedy tą pierwszą granice możnaby z hopitala i wyszłoby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

apocalyptiq pisze:Nieoznaczona wyszła mi:
\(\displaystyle{ -\frac{lnx}{2x^{2}} - \frac{1}{2x} + c}\)

Drugi składnik sumy jest zły.

chodzi o \(\displaystyle{ -\frac{1}{2x}}\)? to co zamiast niego powinno być?

-- 24 czerwca 2010, 16:49 --

a już widze

-- 24 czerwca 2010, 16:55 --

Hm, dużo to nie zmieniło, bo teraz mi wyszło:
\(\displaystyle{ \lim_{s\to\infty} - \frac{lns}{2s^{2}} } + \frac{1}{4}}\)
i co dalej? możliwe że ten obszar miały skończone pole (1/4)?

Powinno być: \(\displaystyle{ \lim_{s \to +\infty} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4s^2} - \frac{\ln s}{2 s^2} \right)}\).
Drugi człon granicy dąży do zera tak jak i trzeci (z 3 funkcji: \(\displaystyle{ 0 \le \tfrac{\ln s}{2s^2} \le \tfrac{s}{2s^2} \to 0}\)).

Czyli ten obszar ma pole 1/4? Bo na wykresie, choć nie wiem czy dobrze narysowałem, wyglądał jak dodatnia część arc tg (powoli rosnący x).

Tak, pole to ćwierć jednostki. Funkcja podcałkowa jest malejąca (granica w nieskończoności to 0), więc pewnie coś z Twoim wykresem jest nie tak.

A faktycznie, na początku nieco rośnie, ale potem maleje, dzięki!