Obliczyć całkę oznaczoną

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Obliczyć całkę oznaczoną

Post autor: apocalyptiq » 24 cze 2010, o 17:31

Obliczyć całkę oznaczoną
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{\infty} \frac{lnx}{x^{3}}}\)
Nieoznaczona wyszła mi:
\(\displaystyle{ -\frac{lnx}{2x^{2}} - \frac{1}{2x} + c}\)
teraz mam tylko problem z wyliczeniem jej wartości, doszedłem do:
\(\displaystyle{ \lim_{s\to\infty} -\frac{lns}{2s^{2}} + \frac{1}{2}}\)
i nie wiem co dalej ;/ jakby sie pozbyć \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), możnaby z hopitala, ale jak sie go pozbyć?-- 24 czerwca 2010, 16:40 --a czy można zrobić tak:
\(\displaystyle{ \lim_{s\to\infty} -\frac{lns}{2s^{2}} + \frac{1}{2} = \lim_{s\to\infty} -\frac{lns}{2s^{2}} + \lim_{s\to\infty} \frac{1}{2}}\)
? wtedy tą pierwszą granice możnaby z hopitala i wyszłoby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć całkę oznaczoną

Post autor: luka52 » 24 cze 2010, o 17:45

apocalyptiq pisze:Nieoznaczona wyszła mi:
\(\displaystyle{ -\frac{lnx}{2x^{2}} - \frac{1}{2x} + c}\)
Drugi składnik sumy jest zły.

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Obliczyć całkę oznaczoną

Post autor: apocalyptiq » 24 cze 2010, o 17:47

chodzi o \(\displaystyle{ -\frac{1}{2x}}\)? to co zamiast niego powinno być?

-- 24 czerwca 2010, 16:49 --

a już widze

-- 24 czerwca 2010, 16:55 --

Hm, dużo to nie zmieniło, bo teraz mi wyszło:
\(\displaystyle{ \lim_{s\to\infty} - \frac{lns}{2s^{2}} } + \frac{1}{4}}\)
i co dalej? możliwe że ten obszar miały skończone pole (1/4)?
Ostatnio zmieniony 24 cze 2010, o 18:24 przez apocalyptiq, łącznie zmieniany 1 raz.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć całkę oznaczoną

Post autor: luka52 » 24 cze 2010, o 18:20

Powinno być: \(\displaystyle{ \lim_{s \to +\infty} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4s^2} - \frac{\ln s}{2 s^2} \right)}\).
Drugi człon granicy dąży do zera tak jak i trzeci (z 3 funkcji: \(\displaystyle{ 0 \le \tfrac{\ln s}{2s^2} \le \tfrac{s}{2s^2} \to 0}\)).

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Obliczyć całkę oznaczoną

Post autor: apocalyptiq » 24 cze 2010, o 18:26

Czyli ten obszar ma pole 1/4? Bo na wykresie, choć nie wiem czy dobrze narysowałem, wyglądał jak dodatnia część arc tg (powoli rosnący x).

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć całkę oznaczoną

Post autor: luka52 » 24 cze 2010, o 18:36

Tak, pole to ćwierć jednostki. Funkcja podcałkowa jest malejąca (granica w nieskończoności to 0), więc pewnie coś z Twoim wykresem jest nie tak.

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Obliczyć całkę oznaczoną

Post autor: apocalyptiq » 24 cze 2010, o 18:48

A faktycznie, na początku nieco rośnie, ale potem maleje, dzięki!

ODPOWIEDZ