Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int\frac{x}{(x+1)(x+2)(x-3)}dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{x}{(3x-1)\cdot\sqrt{3x-1}}dx}\)

z góry dziękuję

boguś pisze:\(\displaystyle{ \int\frac{x}{(3x-1)\cdot\sqrt{3x-1}}dx}\)

\(\displaystyle{ I =\int\frac{x}{(3x-1)\cdot\sqrt{3x-1}}dx =
t\frac{x}{(3x-1)}\cdot\ \frac{3}{2} \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3x-1}}dx = \\ \\
\frac{2}{3}\int\frac{x}{(3x-1)}\cdot\ \frac{3}{2\sqrt{3x-1}}dx\\ \\
f(x)=\frac{x}{(3x-1)} \\ \\
g'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}} g(x)=\sqrt{3x-1} \\ \\
I= \frac{2}{3} (\frac{x}{3x-1} \sqrt{3x-1} - t \frac{3x-1-3x}{(3x-1)^2} \sqrt{3x-1}dx) \\
3x-1=t \frac{1}{3}dt=dx \\
I= \frac{2}{3} (\frac{x}{3x-1} \sqrt{3x-1} + \frac{1}{3} t \frac{\sqrt{t}}{t^2} dt )=
\frac{2x\sqrt{3x-1}}{9x-3}- \frac{4}{9 \sqrt{3x-1} }+C}\)

dziękuję proszę jeszcze o rozwiązanie jeszcze jednej całki

Należy rozłożyć na ułamki proste:
\(\displaystyle{ \frac{x}{(x+1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3}}\)

Mnożymy obustronnie przez (x+1)(x+2)(x-3) i porównujemy wspołczynniki przy tych samych potęgach 'x'.


\(\displaystyle{ A= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ B= -\frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ C= \frac{3}{20}}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ \int\frac{x}{(x+1)(x+2)(x-3)}dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x+1} dx - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x+2}dx + \frac{3}{20} \int \frac{1}{x-3} dx}\)
Jest dobrze - zrobiłem sprawdzenie.
Dalej już prosto - same logarytmy.

wielkie dzięki:)