Witam,
poszukuje rozwiazania "prostego" zadanka:
jaki jest wzor na funkcje pierwotna funkcji:
\(\displaystyle{ \ln \left( x^2 + \frac{1}{x} \right)}\)
moze ktos moglby mi pomoc ???
Dzieki z gory !
Robert
Pamiętaj o zapisie https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52
funkcja pierwotna
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
funkcja pierwotna
Wpierw zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \ln \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) = \ln \frac{x^3 + 1}{x} = \ln \left( (x+1)(x^2-x+1) \right) - \ln x = \\ = \ln (x+1) + \ln (x^2 - x + 1) - \ln x}\)
O ile całki z \(\displaystyle{ \ln(x+1)}\) i \(\displaystyle{ \ln(x)}\) są b. proste (nawet jeżeli nie potrafisz tego obliczyć to w tablicach mat. znajdziesz te całki), o tyle środkowa wydaje się bardziej interesująca.
Zatem obliczmy:
\(\displaystyle{ \mathbf{I_1} = \int \ln (x^2 - x + 1) \, }\)
Przez części:
\(\displaystyle{ u = \ln (x^2 - x + 1), \quad dv = dx\\
du = \frac{2x- 1}{x^2 - x + 1}dx , \quad v=x\\
\mathbf{I_1} = x \ln (x^2 - x + 1) - \int \frac{2x^2- x}{x^2 - x + 1}dx = \\
= x \ln (x^2 - x + 1) - \int \left( 2 + \frac{x-1 }{x^2 -x + 1} - \frac{1}{x^2 - x + 1} \right) \, = \ldots}\)
Dalsze rachunki pozostawiam jako pracę domową.
Jeżeli zaś interesuje Cię li tylko wynik, to:
\(\displaystyle{ \mathbf{I} = C - 2x + \sqrt{3} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + \ln |x+1| + x \ln \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1|}\)
\(\displaystyle{ \ln \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) = \ln \frac{x^3 + 1}{x} = \ln \left( (x+1)(x^2-x+1) \right) - \ln x = \\ = \ln (x+1) + \ln (x^2 - x + 1) - \ln x}\)
O ile całki z \(\displaystyle{ \ln(x+1)}\) i \(\displaystyle{ \ln(x)}\) są b. proste (nawet jeżeli nie potrafisz tego obliczyć to w tablicach mat. znajdziesz te całki), o tyle środkowa wydaje się bardziej interesująca.
Zatem obliczmy:
\(\displaystyle{ \mathbf{I_1} = \int \ln (x^2 - x + 1) \, }\)
Przez części:
\(\displaystyle{ u = \ln (x^2 - x + 1), \quad dv = dx\\
du = \frac{2x- 1}{x^2 - x + 1}dx , \quad v=x\\
\mathbf{I_1} = x \ln (x^2 - x + 1) - \int \frac{2x^2- x}{x^2 - x + 1}dx = \\
= x \ln (x^2 - x + 1) - \int \left( 2 + \frac{x-1 }{x^2 -x + 1} - \frac{1}{x^2 - x + 1} \right) \, = \ldots}\)
Dalsze rachunki pozostawiam jako pracę domową.
Jeżeli zaś interesuje Cię li tylko wynik, to:
\(\displaystyle{ \mathbf{I} = C - 2x + \sqrt{3} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + \ln |x+1| + x \ln \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1|}\)
Ostatnio zmieniony 17 sty 2008, o 11:20 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
funkcja pierwotna
Dzięki za błyskawiczną odpowiedy, zrobilem jednak błąd w edycji mojej funkcji, miało być:
\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{x^2+1}{x} \right)}\) i z tej funkcji funkcja pierwotna....
sorry i jeszcze raz wielkie dzieki za pomoc !
pozdrowionka
Robert
\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{x^2+1}{x} \right)}\) i z tej funkcji funkcja pierwotna....
sorry i jeszcze raz wielkie dzieki za pomoc !
pozdrowionka
Robert
Ostatnio zmieniony 17 sty 2008, o 11:18 przez robert69, łącznie zmieniany 1 raz.
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
funkcja pierwotna
Jakbyś od razu zapisał wzór w LaTeX-u ( https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 ), nie byłoby nieporozumienia.
Tutaj reguła jest taka sama:
\(\displaystyle{ = \ln (x^2 + 1) - \ln x}\)
I obie całki przez części, tj.:
\(\displaystyle{ \mathbf{I_1} = t \ln (x^2 + 1) \, \\
u = \ln (x^2 + 1), \quad dv = dx\\
du = \frac{2x \, dx}{x^2 + 1}, \quad v = x\\
\mathbf{I_1} = x \ln (x^2 + 1) - t \frac{2x^2 \, }{x^2 + 1} = \ldots}\)
Całka z ln(x) podobnie.
Tutaj reguła jest taka sama:
\(\displaystyle{ = \ln (x^2 + 1) - \ln x}\)
I obie całki przez części, tj.:
\(\displaystyle{ \mathbf{I_1} = t \ln (x^2 + 1) \, \\
u = \ln (x^2 + 1), \quad dv = dx\\
du = \frac{2x \, dx}{x^2 + 1}, \quad v = x\\
\mathbf{I_1} = x \ln (x^2 + 1) - t \frac{2x^2 \, }{x^2 + 1} = \ldots}\)
Całka z ln(x) podobnie.
funkcja pierwotna
Wielkie dzieki luka52!
pozdrawiam
Robert
[ Dodano: 18 Stycznia 2008, 07:39 ]
... a już myślałem że sobie poradzę ... ale całka z
2x�/(x�+1) wyprowadziła mnie znowu na manowce ....
Może jeszcze jakaś podpowiedź....
Pozdrawiam
Robert
[ Dodano: 18 Stycznia 2008, 14:38 ]
... taka mala rzecz a tak wkurza )
moze ma ktos rozwiazanie tej calki ???
dzieki z gory i pozdrawiam
Robert
pozdrawiam
Robert
[ Dodano: 18 Stycznia 2008, 07:39 ]
... a już myślałem że sobie poradzę ... ale całka z
2x�/(x�+1) wyprowadziła mnie znowu na manowce ....
Może jeszcze jakaś podpowiedź....
Pozdrawiam
Robert
[ Dodano: 18 Stycznia 2008, 14:38 ]
... taka mala rzecz a tak wkurza )
moze ma ktos rozwiazanie tej calki ???
dzieki z gory i pozdrawiam
Robert