Matematyka.pl

Jak to zrobic??

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{ \sqrt{ 4^{n}+1 } }{ \sqrt[3]{ 8^{n}+1 } }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{arctg(3n+1)}{arctg(2n+1)}}\)

2)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{arctg(3n+1)}{arctg(2n+1)} = \frac{ \frac{\pi}{2} }{ \frac{\pi}{2} } =1}\)

a skad sie to wzielo?? i co z tym pierwszym przykladem?

misiu24h pisze:Jak to zrobic??

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{ \sqrt{ 4^{n}+1 } }{ \sqrt[3]{ 8^{n}+1 } }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{arctg(3n+1)}{arctg(2n+1)}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{ \sqrt{ 4^{n}+1 } }{ \sqrt[3]{ 8^{n}+1 } } = \frac{ \sqrt{2^{2n}(1 + \frac{1}{2^{2n}}) } } { \sqrt[3]{2^{3n}(1 + \frac{1}{2^{3n}})} } = \lim_{ n\to } \frac{ \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2n}} } }{\sqrt{1 + \frac{1}{2^{3n}} }} = 1}\)

Co do drugiego, to wartość funkcji arctg nigdy nie przekroczy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) nieważne jaki duży argument byśmy wzięli. Zwłaszcza gdy \(\displaystyle{ n }\)

Bo jak w nawiase za n podstawię tą nieskończonośc, to w iczniku będę niał arcusa nieskończonosci i w mianowniku tak samo.A arctg nieskończoności dąży do pi/2