Matematyka.pl

Hej,
mam problem z zadaniem:

nalezy wykazac zbieznosc szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin n x}{n}}\)


Pozdrawiam

Najpierw pokaż, że ciąg sum częściowych szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\)
jest ograniczony.
A wtedy zbieżność szeregu wynika z kryterium Dirichleta.

hm... no tak, moze sie zle wyrazilem... Do tego tez doszedlem, ale porzucilem, bo ni potrafilem wykazac tego z tymi sumami czesciowymi...


Pzdr.

A umiesz wyprowadzić wzór na taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx)}\)
?

hm... niekoniecznie... ale chodzi o to za pomoca silni?

Nie, chodzi mi o taki sposób:
\(\displaystyle{ sin(nx) = Im (e^{inx})}\)
Jako że część urojona sumy liczb zespolonych jest równa sumie części urojonych tych liczb, to mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx) = Im\left( \sum_{n=1}^{M} e^{inx}\right)}\)
Policzysz sumę tego ciągu geometrycznego z prawej strony, potem wyznaczysz część urojoną i otrzymasz wzór na sumę sinusów.

aaa... rozumiem... dzieki za pomoc.

albo mozna tez z trygonometrii: robi sie z tego teleskopową sumę, i wychodzi to samo

A mógłbyś pokazać jak? Chętnie poznałbym inny sposób.