wykazac zbieznosc szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
sometwo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 lis 2008, o 09:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 1 raz

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: sometwo » 8 gru 2008, o 20:19

Hej,
mam problem z zadaniem:

nalezy wykazac zbieznosc szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin n x}{n}}\)


Pozdrawiam

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: Wasilewski » 8 gru 2008, o 21:17

Najpierw pokaż, że ciąg sum częściowych szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\)
jest ograniczony.
A wtedy zbieżność szeregu wynika z kryterium Dirichleta.

sometwo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 lis 2008, o 09:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 1 raz

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: sometwo » 9 gru 2008, o 20:54

hm... no tak, moze sie zle wyrazilem... Do tego tez doszedlem, ale porzucilem, bo ni potrafilem wykazac tego z tymi sumami czesciowymi...


Pzdr.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: Wasilewski » 11 gru 2008, o 15:12

A umiesz wyprowadzić wzór na taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx)}\)
?

sometwo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 lis 2008, o 09:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 1 raz

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: sometwo » 14 gru 2008, o 21:19

hm... niekoniecznie... ale chodzi o to za pomoca silni?

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: Wasilewski » 14 gru 2008, o 23:14

Nie, chodzi mi o taki sposób:
\(\displaystyle{ sin(nx) = Im (e^{inx})}\)
Jako że część urojona sumy liczb zespolonych jest równa sumie części urojonych tych liczb, to mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{M} sin(nx) = Im\left( \sum_{n=1}^{M} e^{inx}\right)}\)
Policzysz sumę tego ciągu geometrycznego z prawej strony, potem wyznaczysz część urojoną i otrzymasz wzór na sumę sinusów.

sometwo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 lis 2008, o 09:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 1 raz

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: sometwo » 14 gru 2008, o 23:21

aaa... rozumiem... dzieki za pomoc.

Awatar użytkownika
Zordon
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 909 razy

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: Zordon » 14 gru 2008, o 23:41

albo mozna tez z trygonometrii: robi sie z tego teleskopową sumę, i wychodzi to samo

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

wykazac zbieznosc szeregu

Post autor: Wasilewski » 15 gru 2008, o 18:30

A mógłbyś pokazać jak? Chętnie poznałbym inny sposób.

ODPOWIEDZ