Granica ciągu sin k

[sp1729]

Oblicz granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = \prod_{k=1}^{n}\sin k.}\)
Domyślam się, że ta granica to będzie zero, ale jak ją policzyć?

[Premislav]

Coś tu ma do rzeczy możliwość przybliżania \(\displaystyle{ \pi}\) liczbami wymiernymi. Moje pierwsze skojarzenie jest z tym wątkiem: Ciagi geste, zasada szufladkowa, aproksymacje diofantyczna
i istotnie, pomaga tu lemat o istnieniu, dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ r\in \RR, \ n\in \NN^{+}}\), nieskończenie wielu różnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) (\(\displaystyle{ p,q\in \ZZ, \ q\neq 0}\)) spełniających warunek \(\displaystyle{ |qr-p|<\frac{1}{n}}\)
Bierzemy \(\displaystyle{ r=\pi}\), trochę gimnastyki i wychodzi, tylko jeszcze trzeba odnotować, że wartość bezwzględna wszystkich czynników w tym iloczynie jest nie większa niż \(\displaystyle{ 1}\) (nawet jest ostro mniejsza, ale to nieistotne).

[Janusz Tracz]

Można rozbić \(\displaystyle{ \NN}\) na dwa nieskończone dopełniające się zbiory \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) zdefiniowane jako:

\(\displaystyle{ \mathcal{A}= \left\{ k: \left| \sin k\right| \le \frac{1}{2} \right\} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{B}= \left\{ k: \left| \sin k\right| > \frac{1}{2} \right\} }\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ \left| a_n\right| = \prod_{k}^{n} \left| \sin k \right| = \prod_{k\in \mathcal{A} \cap \left[ n\right] } \left| \sin k \right| \cdot \prod_{k\in \mathcal{B} \cap \left[ n\right] } \left| \sin k \right| \le \left( \frac{1}{2}\right)^{\left|\mathcal{A} \cap \left[ n\right] \right| } }\)

puszczając \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności mamy szacowanie.

[sp1729]

dlaczego na końcu wykładnik potęgi jest w module?

[Janusz Tracz]

To nie moduł tylko liczność zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{A} \cap \left[ n\right]}\). Innymi słowy jest to liczba elementów w tym zbiorze. Wszak i iloczynie \(\displaystyle{ \prod_{k\in\red{\mathcal{A} \cap \left[ n\right]} } \left| \sin k \right|}\) jest tyle wyrazów \(\displaystyle{ |\sin k| \le \frac{1}{2} }\) ile elementów w \(\displaystyle{ \red{\mathcal{A} \cap \left[ n\right]}}\)

[a4karo]

Można rozbić \(\displaystyle{ \NN}\) na dwa nieskończone dopełniające się zbiory \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) oraz \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) zdefiniowane jako:

\(\displaystyle{ \mathcal{A}= \left\{ k: \left| \sin k\right| \le \frac{1}{2} \right\} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{B}= \left\{ k: \left| \sin k\right| > \frac{1}{2} \right\} }\)

To jest kluczowe stwierdzenie, którego nie można pozostawić bez uzasadnienia, przynajmniej w stosunku do zbioru `A`

[Janusz Tracz]

Uwaga a4karo jest słuszna, być może nie podkreśliłem istotności tego faktu wszak faktycznie jest on tu kluczowy. Aby pokazać, że w \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest nieskończenie wiele elementów można zauważyć, że warunek \(\displaystyle{ \left| \sin k\right| \le \frac{1}{2}}\) określa przedział dłuższy od \(\displaystyle{ 1}\) zatem zawsze w takim przesuniętym przedziale siedzi co najmniej jedna liczba naturalna. Oczywiście dokładnie sformalizowanie pozostawiam już jako ćwiczenie.