Ciagi geste, zasada szufladkowa, aproksymacje diofantyczna

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Ciagi geste, zasada szufladkowa, aproksymacje diofantyczna

Post autor: xiikzodz » 2 gru 2008, o 02:57

Niech

\(\displaystyle{ \{x\}=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1)}\)

oznacza część ułamkową liczby \(\displaystyle{ x}\).

Zajmiemy się zbiorem \(\displaystyle{ N(x):=\{\{nx\}:n\in\mathbb{N}\}\subseteq[0,1]}\).

Dla \(\displaystyle{ x=\frac pq\in\mathbb{Q}}\) zbiór \(\displaystyle{ N(x)}\) jest skończony, ma niewiecej niż \(\displaystyle{ q}\) elementów.

Zachodzi natomiast twierdzenie:

Jeśli \(\displaystyle{ x\notin\mathbb{Q}}\), to zbiór \(\displaystyle{ N(x)}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Potrzebny będzie następujący lemat wchodzący w fundamenty struktury liczb rzeczywistych:
  • Lemat (Dirichlet ~1835): Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ r}\) i dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje nieskończenie wiele różnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ \frac pq}\), dla \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{Z}}\) takich, że \(\displaystyle{ |qr-p|\le\frac 1n}\).

    Dowód lematu: Dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) rozważmy \(\displaystyle{ n+1}\) liczb \(\displaystyle{ r_0=\{0\},r_1=\{r\},r_2=\{2r\},...,r_n=\{nr\}}\) i \(\displaystyle{ n}\) przedziałów \(\displaystyle{ P_1=\left[0,\frac {1}{n}\right),P_2=\left[\frac 1n,\frac {2}{n}\right),...,P_{n}=\left[\frac{n-1}{n},\frac {n}{n}\right)}\). Z zasady szufladkowej istnieje przedział \(\displaystyle{ P_i}\), w którym leżą dwie liczby \(\displaystyle{ r_j,r_k}\), powiedzmy \(\displaystyle{ j>k}\). Wówczas

    \(\displaystyle{ \frac 1n\ge|r_j-r_k|=|\{jr\}-\{kr\}|
    =|jr-\lfloor jr\rfloor-kr+\lfloor kr\rfloor|=|(j-k)r-(\lfloor jr\rfloor-\lfloor kr\rfloor)|}\)
    .

    Oznaczmy \(\displaystyle{ p=\lfloor jr\rfloor-\lfloor kr\rfloor\in\mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ q=j-k\in\{1,...,n\}}\). Otrzymujemy więc:

    \(\displaystyle{ (\star)}\) Dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) istnieją \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{Z}}\) takie, że:

    \(\displaystyle{ \frac 1n\ge qr-p\ge-\frac 1n}\).

    Stąd

    \(\displaystyle{ \left|qr-p\right|\le\frac{1}{n}}\).

    Przypuśćmy teraz, że liczb \(\displaystyle{ \frac pq}\) o powyższej własności jest skończenie wiele. Wówczas moglibyśmy dobrać \(\displaystyle{ p,q}\) takie, że wyrażenie \(\displaystyle{ |qr-p|}\) ma wartość minimalną. Wobec niewymierności liczby \(\displaystyle{ r}\) ta minimalna wartość byłaby niezerowa. Skąd istniałaby liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) taka, że dla kazdej pary liczb calkowitych \(\displaystyle{ p,q}\) mielibyśmy

    \(\displaystyle{ |qr-p|>\frac 1n}\)

    To jednak przeczy \(\displaystyle{ (\star)}\) i tym samym dowodzi lematu.
Dowód twierdzenia jest teraz łatwy, choć (dla mnie) kłopotliwy w zapisie:

Niech \(\displaystyle{ t\in(0,1)}\) pokażemy, że dowolnie blisko liczby \(\displaystyle{ t}\) można znaleźc liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ N(x)}\). Niech \(\displaystyle{ 0<\varepsilon<\frac 12}\). Z lematu Dirichleta istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ p,q}\) takie, że

\(\displaystyle{ \left|qr-p\right|\le\frac{1}{q}\le\varepsilon}\).

Skąd:

(*) albo \(\displaystyle{ \{qr\}\le\varepsilon}\) albo \(\displaystyle{ \{-qr\}\le\varepsilon}\).

Oznaczmy \(\displaystyle{ i=\left\lfloor\frac{t}{\{qr\}}\right\rfloor}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ i\cdot\{qr\}\le t\le(i+1)\cdot\{qr\}}\)

Wobec wyboru \(\displaystyle{ \varepsilon}\) przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ i\{qr\}}\), \(\displaystyle{ (i+1)\{qr\}}\) należy do \(\displaystyle{ (0,1)}\), bo liczby te są oddalone o niewięcej niż \(\displaystyle{ \varepsilon\le\frac 12}\) na mocy (*), zaś liczba \(\displaystyle{ t}\) leżąca pomiędzy nimi należy do \(\displaystyle{ (0,1)}\). Zatem

\(\displaystyle{ i\{qr\}=\{iqr\}}\) oraz \(\displaystyle{ |t-\{iqr\}|\le\varepsilon}\)

lub

\(\displaystyle{ (i+1)\{qr\}=\{(i+1)qr\}}\) oraz \(\displaystyle{ |t-\{(i+1)qr\}|\le\varepsilon}\).

Co kończy argument.
  • Powyższe twierdzenie jest jedynie wstępem do aproksymacji diofantycznych, lecz można je skutecznie stosować w analizie i geometrii. Wynika z niego np. gestość tzw. obmotki na torusie

    Standardowe zastosowanie to dowód, ze wartości ciągu \(\displaystyle{ \sin n}\) tworza gęsty podzbiór przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\) i wobec tego ten ciąg nie może być zbieżny.

    Pokazujemy to nastepująco: Liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}}\) jest niewymierna, wobec tego zbiór \(\displaystyle{ \left\{\left\{\frac{n}{2\pi}\right\}:n\in\mathbb{N}\right\}}\) jest gęsty w odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\). Tym samym zbiór \(\displaystyle{ \left\{2\pi\cdot{\left\{\frac{n}{2\pi}\right\}:n\in\mathbb{N}\right\}}\) jest gęsty w odcinku \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\), skad gęstość zbioru
    \(\displaystyle{ \left\{\sin\left(2\pi\cdot{\left\{\frac{n}{2\pi}\right\}\right):n\in\mathbb{N}\right\} w [-1,1]}\). Z drugiej strony mamy:

    \(\displaystyle{ n=2\pi\cdot\frac{n}{2\pi}=2\pi\cdot\left(\left\lfloor\frac{n}{2\pi}\right\rfloor+{\left\{\frac{n}{2\pi}\right\}\right)}\)

    zatem

    \(\displaystyle{ \sin n = \sin\left(2\pi\cdot{\left\{\frac{n}{2\pi}\right\}\right)}\)

    Co kończy argument

Z lematu Dirichleta wynika, że dla każdej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ r}\) znajdziemy nieskończenie wiele liczb wymiernych \(\displaystyle{ \frac pq}\) takich, że

\(\displaystyle{ \left|r-\frac pq\right|\le\frac{1}{q^2}}\)

Okazuje się, ze w ogólnosci ciaśniej przybliżyc się nie da, bo zachodzi piękne:

Twierdzenie: (Liouville) Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest niewymierną liczbą algebraiczną stopnia \(\displaystyle{ n}\), to istnieje taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ c=c(\alpha)>0}\), że dla dowolnych całkowitych \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ q>0}\)

\(\displaystyle{ \left|\alpha-\frac pq\right|>\frac{c}{q^n}}\).

Definicja: Mówimy, że liczba jest algebraiczna, gdy jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Stopień liczby algebraicznej to najmniejszy stopień wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego ta liczba jest pierwiastkiem.

Dowód twierdzenia:

Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych minimalnego stopnia, takim, że

\(\displaystyle{ f(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\dots+a_0=0}\)

Niech też:

\(\displaystyle{ M>\max\{|f'(x)|:\alpha-1\leq x\leq\alpha+1\}}\).

Przypuśćmy, ze

\(\displaystyle{ \frac{p}{q}\in(\alpha-1,\alpha+1)}\)

oraz

\(\displaystyle{ f\left(\frac{p}{q}\right)\neq 0}\).

Wówczas

\(\displaystyle{ \left\vert f\left(\frac{p}{q}\right)\right\vert=\frac{\left\vert a^np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_0q^n\right\vert}{q^n}\geq\frac{1} {q^n}}\)

bo licznik jest całkowity i różny od zera.

Z tw. Legrange'a (o wartości średniej) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{q^n}\leq \left|f\left(\frac{p}{q}\right)-f(\alpha)\right|=\left|\left(\frac{p}{q}-\alpha\right)f'(x)\right|}\).

Kładziemy więc \(\displaystyle{ c=\frac 1M}\) i dowod zakończony.
Ostatnio zmieniony 15 cze 2009, o 20:21 przez xiikzodz, łącznie zmieniany 1 raz.

ODPOWIEDZ