Matematyka.pl

Mam taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sin ^{n} \left( \frac{n+1}{n} \right)}\)

i nie wiem jak go liczyć przez tego sinusa do \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia..

A ile to jest
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sin\left( \frac{n+1} n\right)}\)? Tj. jaka to liczba: dodatnia, ujemna, większa od \(\displaystyle{ 1}\), mniejsza? Przypominam, że sinus jest funkcją ciągłą.

Wydaje mi się, że to będzie \(\displaystyle{ \sin (1)}\), czyli liczba dodatnia i mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\).

Dobrze. To jak podniesiesz do dużej potęgi liczbę dodatnią i mniejszą niż \(\displaystyle{ 1}\), będziesz mieć coś małego. Czyli granicą jest…
Ale to intuicja, bardziej elegancko byłoby napisać jakieś szacowania, argument sinusa maleje i dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) wpada do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), a w tym przedziale sinus jest rosnący. Czyli możesz napisać, że \(\displaystyle{ \sin\left( 1+\frac 1 n\right) \le \sin \frac 3 2}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\). I dalej już łatwo, bo \(\displaystyle{ \sin 2}\) też jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\).