Jak obliczyć tę granicę?

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mateuszmm7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 lis 2018, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

Jak obliczyć tę granicę?

Post autor: mateuszmm7 » 13 lis 2018, o 12:46

Mam taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sin ^{n} \left( \frac{n+1}{n} \right)}\)

i nie wiem jak go liczyć przez tego sinusa do \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia..
Ostatnio zmieniony 13 lis 2018, o 13:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14923
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4940 razy

Jak obliczyć tę granicę?

Post autor: Premislav » 13 lis 2018, o 13:10

A ile to jest
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sin\left( \frac{n+1} n\right)}\)? Tj. jaka to liczba: dodatnia, ujemna, większa od \(\displaystyle{ 1}\), mniejsza? Przypominam, że sinus jest funkcją ciągłą.

mateuszmm7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 7 lis 2018, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 8 razy

Jak obliczyć tę granicę?

Post autor: mateuszmm7 » 13 lis 2018, o 13:15

Wydaje mi się, że to będzie \(\displaystyle{ \sin (1)}\), czyli liczba dodatnia i mniejsza od \(\displaystyle{ 1}\).
Ostatnio zmieniony 13 lis 2018, o 13:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zdanie zaczynamy wielką literą i kończymy kropką. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14923
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4940 razy

Jak obliczyć tę granicę?

Post autor: Premislav » 13 lis 2018, o 13:30

Dobrze. To jak podniesiesz do dużej potęgi liczbę dodatnią i mniejszą niż \(\displaystyle{ 1}\), będziesz mieć coś małego. Czyli granicą jest…
Ale to intuicja, bardziej elegancko byłoby napisać jakieś szacowania, argument sinusa maleje i dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) wpada do przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), a w tym przedziale sinus jest rosnący. Czyli możesz napisać, że \(\displaystyle{ \sin\left( 1+\frac 1 n\right) \le \sin \frac 3 2}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\). I dalej już łatwo, bo \(\displaystyle{ \sin 2}\) też jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\).
Ostatnio zmieniony 13 lis 2018, o 13:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ