Matematyka.pl

Witam.
Prosze o pomoc.

zad1. zbadać zbieżność

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt {n+1}-\sqrt{n}}{n}}\)

zad2. zbadać zbieżność

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(n!)^{2}\cdot5^{n}}{(2n)!}}\)

zad3. zbadać zbieżność

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {n^{3}}{2^{n}}}\)

zad4. zbadać zbieżność

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac {1}{n}}\)

zad5. pokazać, że szereg jest bezwzględnie zbieżny

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac {1}{n^{2}}}\)

zad6. zbadać zbieżność

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {n!}{n^{n}}}\)

2 i 6 z d 'Alemberta.

zad2.

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}\cdot \frac{2n!}{(n!)^2\cdot5^n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n!)^2\cdot(n+1)^2\cdot5^n\cdot5}{(2n!)(2n+1)(2n+2)}\cdot \frac{2n!}{(n!)^2\cdot5^n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\to\frac{5}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{4}>1}\)

Zatem szereg jest rozbieżny.

zad 6. tak samo, wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) Szereg zbieżny.

zad 3 - kryterium Cauchy'ego
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^3}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n^3}}{2}=\frac{1}{2}}\)

zbieżny