Matematyka.pl

Witam,
Byłbym bardzo wdzięczny za wskazanie błędów w niżej przedstawionych przykładach i naprowadzenie mnie na poprawne rozwiązanie (o ile oczywiście błędy są..)

\(\displaystyle{ 1.\ \lim_{ n\to \infty } n \left( \ln \left( n+3 \right) -\ln \left( n \right) \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( n \left( \ln \frac{n+3}{n} \right) = \lim_{ n\to \infty } \left( \ln \left( 1+ \frac{3}{n} \right) ^{n} = 3}\)

\(\displaystyle{ 2.\ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ n^{2}+n+4 }{ n^{2}-n+10 } \right) ^{ {n \choose 3} } = \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{ n^{2}-n+10+2n-6 }{ n^{2}-n+10 } \right) ^{ \frac{n!}{6 \left( n-3 \right) !}} =\\= \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{ n^{2}-n+10 }{2n-6} } \right) ^{ \frac{ n^{2}-n+10 }{2n-6} \cdot \frac{2n-6}{ n^{2}-n+10 } \cdot \frac{ n^{3}- 3n^{2}+2n }{6}}= e^{ \infty } = \infty}\)

\(\displaystyle{ 3.\ \lim_{ n\to \infty } \frac{3 n^{n} }{ \left( n+1 \right) ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } 3 \left( \frac{n}{n+1} \right) ^{n}= \lim_{n \to \infty }3 \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right) ^{n} =\\= \lim_{n \to \infty }3 \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right) ^{ \left( -n-1 \right) \cdot \frac{n}{-n-1} }= \frac{3}{e}}\)

Poniżej zamieszczam jeszcze 2 przykłady, które nie bardzo wiem jak ruszyć i mam nadzieję, że ktoś naprowadzi mnie na rozwiązanie
1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }}\)
Próbowałem podzielić całe wyrażenie przez pierwiastek z \(\displaystyle{ n}\), ale po dokonaniu tego wychodzi mi granica \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), z którą nie bardzo wiem jak sobie poradzić..
2. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[3]{27 n^{3}+1 } - \sqrt[3]{27n ^{3}-n }}\)
Tutaj podobnie.. Próbowałem skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów, ale wychodzą z tego straszne "tasiemce", które nie bardzo potrafię uprościć. Niby wydaje się, że st. mianownika jest wyższy, więc granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), ale ile w tym prawdy..

Z góry bardzo dziękuję za wszelką pomoc.

1(dolne) sprzężenie licznika i mianownika zrób.

Przyznam szczerze, że nie wiem czy dobrze to zrozumiałem.. Czy chodzi o policzenie wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} } \cdot \frac{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} } \cdot \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }}\)

Jeżeli tak, to nawet pomijając fakt, że jest to doświadczenie raczej masochistyczne to i tak (chyba) nic z tego nie wychodzi. Mianownik będzie stopnia \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\), a licznik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przy czym po podzieleniu całego wyrażenia przez n podniesione do najwyższej potęgi mianownika otrzymamy wyrażenie typu \(\displaystyle{ \frac{0}{0 \cdot \infty }}\), ale oczywiście mogę się mylić..

Z kolei osobne mnożenie przez sprzężenie daje odpowiednio \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{ \infty \cdot 0}}\)

Już zdążyłem edytować. Pomyłka w przepisywaniu (a raczej kopiowaniu ułamków zapisanych w texie). Przepraszam.

Dobry początek. Ten wzór. Sprząż tą resztą ze wzoru na różnicę sześcianu. Ale mianownika nie rozwijaj . Dzięki temu odkryjesz, że stopień licznika to 1, a mianownika 2 czyli rzeczywiście 0.

Kartezjusz pisze:Dobry początek. Ten wzór. Sprząż tą resztą ze wzoru na różnicę sześcianu. Ale mianownika nie rozwijaj . Dzięki temu odkryjesz, że stopień licznika to 1, a mianownika 2 czyli rzeczywiście 0.

Do czego to ?

Jeżeli się nie mylę to do drugiego przykładu dolnego. W każdym razie stopnie licznika i mianownika się zgadzają (chociaż nie mnożyłem przez sprzężenie).

Czy mógłbym jeszcze prosić o odniesienie się do 3 zamieszczonych przeze mnie przykładów? Będę wdzięczny.

1)3) ok.

2) Nie mam cierpliwości do przeliczania (wpisz w wolframa - może po rozpisaniu wykładnika będzie wygodniej).