Granice ciągów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
SnowBird
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 lip 2017, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Granice ciągów

Post autor: SnowBird » 5 lis 2017, o 21:16

Witam,
Byłbym bardzo wdzięczny za wskazanie błędów w niżej przedstawionych przykładach i naprowadzenie mnie na poprawne rozwiązanie (o ile oczywiście błędy są..)

\(\displaystyle{ 1.\ \lim_{ n\to \infty } n \left( \ln \left( n+3 \right) -\ln \left( n \right) \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( n \left( \ln \frac{n+3}{n} \right) = \lim_{ n\to \infty } \left( \ln \left( 1+ \frac{3}{n} \right) ^{n} = 3}\)

\(\displaystyle{ 2.\ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ n^{2}+n+4 }{ n^{2}-n+10 } \right) ^{ {n \choose 3} } = \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{ n^{2}-n+10+2n-6 }{ n^{2}-n+10 } \right) ^{ \frac{n!}{6 \left( n-3 \right) !}} =\\= \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{ \frac{ n^{2}-n+10 }{2n-6} } \right) ^{ \frac{ n^{2}-n+10 }{2n-6} \cdot \frac{2n-6}{ n^{2}-n+10 } \cdot \frac{ n^{3}- 3n^{2}+2n }{6}}= e^{ \infty } = \infty}\)

\(\displaystyle{ 3.\ \lim_{ n\to \infty } \frac{3 n^{n} }{ \left( n+1 \right) ^{n} } = \lim_{ n\to \infty } 3 \left( \frac{n}{n+1} \right) ^{n}= \lim_{n \to \infty }3 \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right) ^{n} =\\= \lim_{n \to \infty }3 \left( 1+ \frac{1}{-n-1} \right) ^{ \left( -n-1 \right) \cdot \frac{n}{-n-1} }= \frac{3}{e}}\)

Poniżej zamieszczam jeszcze 2 przykłady, które nie bardzo wiem jak ruszyć i mam nadzieję, że ktoś naprowadzi mnie na rozwiązanie
1. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }}\)
Próbowałem podzielić całe wyrażenie przez pierwiastek z \(\displaystyle{ n}\), ale po dokonaniu tego wychodzi mi granica \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\), z którą nie bardzo wiem jak sobie poradzić..
2. \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[3]{27 n^{3}+1 } - \sqrt[3]{27n ^{3}-n }}\)
Tutaj podobnie.. Próbowałem skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów, ale wychodzą z tego straszne "tasiemce", które nie bardzo potrafię uprościć. Niby wydaje się, że st. mianownika jest wyższy, więc granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), ale ile w tym prawdy..

Z góry bardzo dziękuję za wszelką pomoc.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 23:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23223
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3180 razy

Granice ciągów

Post autor: piasek101 » 5 lis 2017, o 21:28

1(dolne) sprzężenie licznika i mianownika zrób.

SnowBird
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 lip 2017, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Granice ciągów

Post autor: SnowBird » 5 lis 2017, o 23:11

Przyznam szczerze, że nie wiem czy dobrze to zrozumiałem.. Czy chodzi o policzenie wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} } \cdot \frac{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} }{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} } \cdot \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }}\)

Jeżeli tak, to nawet pomijając fakt, że jest to doświadczenie raczej masochistyczne to i tak (chyba) nic z tego nie wychodzi. Mianownik będzie stopnia \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\), a licznik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przy czym po podzieleniu całego wyrażenia przez n podniesione do najwyższej potęgi mianownika otrzymamy wyrażenie typu \(\displaystyle{ \frac{0}{0 \cdot \infty }}\), ale oczywiście mogę się mylić..

Z kolei osobne mnożenie przez sprzężenie daje odpowiednio \(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{ \infty \cdot 0}}\)
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 23:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19191
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3244 razy

Granice ciągów

Post autor: a4karo » 5 lis 2017, o 23:19

\(\displaystyle{ \frac{{\red \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}} }{{\green \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }} \cdot \frac{{\red \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} }}{ \sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} } \cdot \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{ {\green \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }}}\)

SnowBird
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 lip 2017, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Granice ciągów

Post autor: SnowBird » 5 lis 2017, o 23:22

Już zdążyłem edytować. Pomyłka w przepisywaniu (a raczej kopiowaniu ułamków zapisanych w texie). Przepraszam.

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7294
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 947 razy

Granice ciągów

Post autor: Kartezjusz » 5 lis 2017, o 23:32

Dobry początek. Ten wzór. Sprząż tą resztą ze wzoru na różnicę sześcianu. Ale mianownika nie rozwijaj . Dzięki temu odkryjesz, że stopień licznika to 1, a mianownika 2 czyli rzeczywiście 0.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23223
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3180 razy

Granice ciągów

Post autor: piasek101 » 6 lis 2017, o 20:38

Kartezjusz pisze:Dobry początek. Ten wzór. Sprząż tą resztą ze wzoru na różnicę sześcianu. Ale mianownika nie rozwijaj . Dzięki temu odkryjesz, że stopień licznika to 1, a mianownika 2 czyli rzeczywiście 0.
Do czego to ?

SnowBird
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 2 lip 2017, o 11:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Re: Granice ciągów

Post autor: SnowBird » 6 lis 2017, o 21:22

Jeżeli się nie mylę to do drugiego przykładu dolnego. W każdym razie stopnie licznika i mianownika się zgadzają (chociaż nie mnożyłem przez sprzężenie).

Czy mógłbym jeszcze prosić o odniesienie się do 3 zamieszczonych przeze mnie przykładów? Będę wdzięczny.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23223
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3180 razy

Re: Granice ciągów

Post autor: piasek101 » 6 lis 2017, o 21:37

1)3) ok.

2) Nie mam cierpliwości do przeliczania (wpisz w wolframa - może po rozpisaniu wykładnika będzie wygodniej).

ODPOWIEDZ