Matematyka.pl

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego w tym przykładzie w przedostatniej linijce zmieniono znak?
\(\displaystyle{ 0<a<1 \\
\lim _{n\to \infty }\log _an=-\infty \Leftrightarrow \\
\forall_{ m\in \mathbb{R}_-}\ \:\exists_{ n_m}\ \forall_{ n>n_m}\ \:\log _an<m\\ \:\log _an<m\\
a^{\log _an}<a^m \\
n>a^m \\
n_m = a^m}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ a \in \left(0,1 \right)}\). Gdyby znak nie został odwrócony otrzymalibyśmy nierówność fałszywą.

To jest błąd, zwrot nierówności powinien być zmieniony już linijkę wyżej.
Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\), im mniejszy jest wykładnik \(\displaystyle{ x}\), tym większa będzie wartość \(\displaystyle{ a^x}\). Formalnie: gdy \(\displaystyle{ a}\) jest ustaloną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\), to funkcja \(\displaystyle{ f(x)=a^x}\) jest malejąca.