Granica ciągu w minus nieskończoności

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Maciek414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 4 lip 2017, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: Maciek414 » 1 lis 2017, o 13:15

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego w tym przykładzie w przedostatniej linijce zmieniono znak?
\(\displaystyle{ 0<a<1 \\ \lim _{n\to \infty }\log _an=-\infty \Leftrightarrow \\ \forall_{ m\in \mathbb{R}_-}\ \:\exists_{ n_m}\ \forall_{ n>n_m}\ \:\log _an<m\\ \:\log _an<m\\ a^{\log _an}<a^m \\ n>a^m \\ n_m = a^m}\)
Ostatnio zmieniony 1 lis 2017, o 17:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

whitemanxy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 16 lis 2013, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy

Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: whitemanxy » 1 lis 2017, o 13:30

Ponieważ \(\displaystyle{ a \in \left(0,1 \right)}\). Gdyby znak nie został odwrócony otrzymalibyśmy nierówność fałszywą.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: Premislav » 1 lis 2017, o 13:31

To jest błąd, zwrot nierówności powinien być zmieniony już linijkę wyżej.
Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\), im mniejszy jest wykładnik \(\displaystyle{ x}\), tym większa będzie wartość \(\displaystyle{ a^x}\). Formalnie: gdy \(\displaystyle{ a}\) jest ustaloną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\), to funkcja \(\displaystyle{ f(x)=a^x}\) jest malejąca.

ODPOWIEDZ